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在数学中，同一性(1 + sqrt(2))^2 = 3 + 2*sqrt(2)是正确的。但在浮点（IEEE 754，使用单精度，即 32 位）计算中，情况并非如此，因为sqrt(2)它没有精确的二进制表示。

那么使用 的近似值是否sqrt(2)会为左侧和右侧提供不同的结果？如果是，为什么？对近似值进行平方会显着降低精度吗？

那么，哪个等价表达式给出了最准确的结果？

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当按照 IEEE-754 双精度编写计算时，此恒等式恰好成立。原因如下：

两个正确舍入为双精度的平方根是：

sqrt(2) = 0x1.6a09e667f3bcd * 2^0

（我在这里使用十六进制，因为表示更整洁，并且转换为 IEEE754 格式更容易）。如果没有发生溢出，则乘以二在二进制浮点中是精确的，就像这里的这种情况一样，所以：

2*sqrt(2) = 0x1.6a09e667f3bcd * 2^1

当我们添加三个时，我们得到：

3 + 2*sqrt(2) = 0x1.7504f333f9de68 * 2^2

然而，这不是一个可表示的双精度数（它太宽了一位），所以结果被四舍五入到最接近的可表示数。碰巧这个值正好在两个可表示数字的中间，所以我们选择一个尾随零位的数字：

3 + 2*sqrt(2) = 0x1.7504f333f9de6 * 2^2

现在是计算的另一面。当我们将 1 加到 2 的双精度平方根上时，我们得到：

1 + sqrt(2) = 0x1.3504f333f9de68 * 2^1

这也是可表示的双精度数之间的确切中间情况，并且再次四舍五入到最接近的“偶数”可表示数：

1 + sqrt(2) = 0x1.3504f333f9de6 * 2^1

当这个值被平方时，结果是：

(1 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)) = 0x1.7504f333f9de599cacbc97eaa4 * 2^2

这也不是一个可表示的双精度数。这不是一个精确的中途情况，所以它只是四舍五入到最接近的可表示数字，即：

(1 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2)) = 0x1.7504f333f9de6 * 2^2

总结：以两种不同的方式计算这个值会产生两个不同的舍入序列，但最终的结果是相同的。然而，我们只查看了双精度计算；当使用不同的算术类型进行计算时，情况可能并非如此。

然而，一般来说，3 + 2*sqrt(2)应该期望表达式更准确（在它们不同的情况下），因为对于任何二进制 IEEE-754 类型，它只产生两个舍入（平方根和加法），而(1 + sqrt(2))*(1 + sqrt(2))产生三个舍入（平方根、加法和乘法）。还应注意，两者之间的差异最多为一位或两位，并且对于您的目的而言可能可以忽略不计。

于 2010-01-04T18:27:45.547 回答
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因为即使0.1 + 0.2 != 0.3您也不应该指望如此复杂的等式来支持有限精度的浮点数。

由于这些数字存储为四舍五入到一定数量的二进制小数，因此如果该数字（如 0.1）具有无限多的二进制数字，则它们并不准确。因此，使用这些数字的计算结果也不会是精确的，并且预计与计算的精确结果会有小的差异。

于 2010-01-03T19:28:54.433 回答
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那么使用 sqrt(2) 的近似值是否会为左侧和右侧提供不同的结果？如果是，为什么？

从数学上讲，这种等式仅因为这些数字之间的精确关系才有效（它与三角形边的长度有关）。如果以不精确表示的形式添加模糊性，则等式不再成立。平等是一个二元命题，所以问题不再是“哪一方是对的”，而是“这种关系到底是不是真的？”。答案是，“不，这不再是真的”。

对近似值进行平方会显着降低精度吗？

对两个浮点值的每次操作都可能降低它们的准确性。可以保证对于某些数字的非常小的操作子集（具有精确位表示的操作）不会降低准确性。

于 2010-01-03T19:32:24.700 回答
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通常我使用 [(1 + sqrt(2))^2] - [3 + 2*sqrt(2)] < 0.00001 在这种情况下测试相等性（当然在某些情况下我会忽略这种用法）

有没有更好的办法？

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于 2010-01-03T19:42:34.810 回答
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请注意，仅依靠绝对差异可能会导致问题。它适用于 1 左右的小数，有足够的小数点可以相差 1e-5 或您使用的数字。但想想更大的数字。他们的数字必须存储在有限的空间（尾数）中。并且只存储最重要的数字。这意味着什么？没有剩余空间来存储可以测量差异的数字，例如 1e-5！

总结一下，最好同时使用绝对和相对比较。

bool equal(float a, float b)
{
    if (abs(a - b) < eps)
        return true;
    if (abs(a - b) / max(abs(a), abs(b)) < eps)
        return true;
    return false;
}
于 2010-01-03T19:58:41.737 回答
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看看好的一面：如果您重新处理该方程式以删除sqrts，那么由于您将处理大小合理的整数，因此该方程式将是精确的浮点数；）

不准确通​​常与需要小数部分（除了 0.5 和 .2 的幂）来表示的数字有关。

回答您问题的另一部分：不，双方的表示sqrt(2)确实相同。在您开始对两边的相同数字应用（不同）操作之前，不会引入错误（和差异）：加 1 与乘以 2 等。

于 2010-01-03T19:33:14.357 回答
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在 C++ 中为浮点数定义相等比较器的人应该被枪杀:>。许多合理的语言（如 SML）没有浮点比较运算符。我通常使用以下代码：

template < typename T >
inline bool equals( T x, T y, T precision = std::numeric_limits<T>::epsilon() ) 
{
    return abs( x - y ) <= precision;
}

注意：abs 在这里也是一个模板化的函数，epsilon 默认存储在外面。比较中的等号是为了我的目的。

于 2010-01-03T19:40:52.503 回答
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在双精度中，(1 + sqrt(2))^2 = 3 + 2*sqrt(2)似乎成立。请参阅C 代码。

于 2010-01-04T00:33:12.823 回答
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我要再抛出一个想法——

是的，确实，实数的完全相等在计算机编程中是一个毫无意义的概念。

但在我们的物理现实中，实数的精确相等也是一个毫无意义的概念。

我们物理现实中的整数是计数的结果。我们物理现实中的实数是测量的结果。并且所有测量都包含错误。说两个物理测量值完全相同是无稽之谈。充其量，两个物理测量值，四舍五入到适合测量精度的某种精度水平，是相等的。

当你用尺子测量铅笔的长度时，你会得到最接近 16 英寸的长度。当你用卡尺测量它时，你会得到一个最接近 1000 英寸的长度。现实世界的测量总是包括这种四舍五入。当您在计算机程序中模拟真实世界的测量时，您也需要这样做。

实数相等是仅对数学家有意义的概念。（即使在那里，它也是一个与整数相等不同且更复杂的概念）。

于 2010-01-04T23:42:13.393 回答
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sqrt(2) 没有二进制的精确表示。

sqrt(2) 也没有十进制、十六进制或任何其他 base-n 系统的精确表示；这是一个无理数。

sqrt(2) 的唯一精确表示是 sqrt(2)。或者，作为方程 x 2 = 2 的解。

于 2010-01-05T00:03:12.473 回答
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在比较浮点值时，我发现最好将差异的绝对值与给定的容差进行比较。你总是可以指望这一点。

于 2010-01-03T19:36:20.247 回答
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一般来说，双方会给你不同的结果。浮点数学不满足交换和关联属性。涉及许多因素，包括编译器选项和硬件。

对于您的方程式，您可能会找出哪一侧更准确（我的猜测乘以一侧），但如果您决定使用不同的值，它通常不会成立，即对于某些值，一侧可能更准确，而other side 对于其他值更准确。

在您的情况下，平方不应显着影响结果。

于 2010-01-03T19:39:43.517 回答
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那么使用 sqrt(2) 的近似值是否会为左侧和右侧提供不同的结果？如果是，为什么？对近似值进行平方会显着降低精度吗？

加法和乘法都有误差近似。乘法是经验性的，尤其是在嵌套时。

以下不是准确的表示，但有助于理解我的观点：

example of addition:
(float1 * float2 + float3)
float1 * float2 + float3 + mult_approximation + add_approximation

example multiplication
(float1 * (float2 + float3))
(float1 * (float2 + float3 + add_apporiximation)
float1 * (float2 + float3) + add_approximation * float1 + mult_approximation
于 2010-01-03T19:46:16.377 回答
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这是因为表示像 sqrt(x) 这样的连续（无限）函数不能完全在离散（有限）状态机上完成。相反，连续函数通过从 0 到 n 的泰勒级数展开转换为离散函数，其中 n 是您可以表示的最高数字（在本例中为 2^32）。因为您不能在计算机上将总和从 0 取到无穷大，所以您会留下一些剩余的错误。可以计算此误差，以便您可以确定离散函数与连续函数的接近程度。

有关所涉及方程的更多信息和漂亮的 TeX 表示： http ://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

于 2010-01-03T19:54:18.277 回答
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令人惊讶的是，如果由于某种原因您需要准确表示非有理数（提示：您可能不需要），您可以做一些事情：连分数算术。这个想法可以追溯到 1972 年，并且归功于超级黑客 Bill Gosper - 谷歌搜索。顺便说一句，这个想法的更高级方面是当前数学研究的问题。参见例如这篇论文。

于 2010-01-04T08:22:52.573 回答
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通常，浮点运算精确到 FLT_EPSILON，即在最低有效位内，对于 IEEE 32 位浮点数，它是 2 -23。

另请参阅：C# 中不是 15 位的 Double Type 精度吗？

于 2010-01-05T00:44:23.007 回答