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实现这个简单的寻根算法。 http://en.wikipedia.org/wiki/Durand%E2%80%93Kerner_method 我一生都无法弄清楚我的实现有什么问题。根不断膨胀，没有收敛的迹象。有什么建议么？

谢谢。

#include <iostream>
#include <complex>

using namespace std;

typedef complex<double> dcmplx;

dcmplx f(dcmplx x)
{
    // the function we are interested in
    double a4 = 3;
    double a3 = -3;
    double a2 = 1;
    double a1 = 0;
    double a0 = 100;

    return a4 * pow(x,4) + a3 * pow(x,3) + a2 * pow(x,2) + a1 * x + a0;
}


int main()
{   

dcmplx p(.9,2);
dcmplx q(.1, .5);
dcmplx r(.7,1);
dcmplx s(.3, .5);

dcmplx p0, q0, r0, s0;

int max_iterations = 20;
bool done = false;
int i=0;

while (i<max_iterations && done == false)
{   
    p0 = p;
    q0 = q;
    r0 = r;
    s0 = s;


p = p0 - f(p0)/((p0-q0)*(p0-r0)*(p0-s0));
q = q0 - f(q0)/((q0-p)*(q0-r0)*(q0-s0));
r = r0 - f(r0)/((r0-p)*(r0-q)*(r0-s0));
s = s0 - f(s0)/((s0-p)*(s0-q)*(s0-r));

    // if convergence within small epsilon, declare done
    if (abs(p-p0)<1e-5 && abs(q-q0)<1e-5 && abs(r-r0)<1e-5 && abs(s-s0)<1e-5)
        done = true;

    i++;
}

cout<<"roots are :\n";
cout << p << "\n";
cout << q << "\n";
cout << r << "\n";
cout << s << "\n";
cout << "number steps taken: "<< i << endl;

return 0;
}
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3 回答 3

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啊，问题是 N 次多项式的系数必须指定为

1*x^N + a*x^(N-1) + b*x^(N-2) ... 等 + z;

其中 1 是最大度项的系数。否则第一个根永远不会收敛。

于 2013-11-10T17:08:11.630 回答
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半年后：谜题的解法是分母应该是多项式导数的近似值，因此需要包含领先系数a4作为因子。

或者，可以在 return 语句中将多项式值除以 a4，从而使多项式有效地归一化，即，其前导系数为 1。

请注意，Bo Jacoby 在维基百科中的示例代码是该方法的 Seidel 类型变体，经典公式是类似 Jordan 的方法，其中所有新近似值同时从旧近似值计算。与作为多维牛顿方法的公式为 Jacobi 提供的 2 阶相比，Seidel 的收敛速度更快。

然而，对于较大的度数，可以使用快速多项式乘法算法对多项式值和分母中的乘积进行所需的多点评估来加速雅可比。

于 2014-04-07T18:07:25.057 回答
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您没有正确实现公式。例如

s = s0 - f(s0)/((s0-p0)*(s0-q0)*(s0-r0));

应该

s = s0 - f(s0)/((s0-p)*(s0-q)*(s0-r));

再看维基文章

于 2013-11-10T07:18:07.143 回答