math - 2d中三个点的面积等于一个行列式

Question

假设我们有一条线段（pq）和一个r靠近它的点。如何证明三角形的面积pqr等于|D|/2：

如果

          |1   px     py |
  D = det |1   qx     qy |
          |1   rx     ry |

p=(px,py), q=(qx,qy), r=(rx,ry).

Answer 1

考虑向量PQ和PR：

vector PQ = (qx-px, qy-py, 0)
vector PR = (rx-px, ry-py, 0)

PQ三角形的面积可以PR用叉积公式来表示：

Area = 1/2 |PR| · |PQ| · sin(theta)     # theta = included angle between PR and PQ
     = 1/2 |PR ⨯ PQ|

这个叉积可以写成一个行列式：

             |               |
2·Area = det |rx-px   ry-py   0|
             |qx-px   qy-py   0|

       = abs((rx-px)·(qy-py) - (qx-px)·(ry-py))

       = abs(rx·qy - rx·py - px·qy + px·py - qx·ry + qx·py + px·ry - px·py)
                                     ^^^^^                           ^^^^^
       = abs(rx·qy - rx·py - px·qy - qx·ry + qx·py + px·ry)
             ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^
             term1   term2   term3   term4   term5   term6 

另一方面，您发布的行列式也可以扩展：

    |1   px   py |
det |1   qx   qy | = abs(qx·ry - rx·qy + rx·py - px·ry + px·qy - qx·py)
    |1   rx   ry |       ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^   ^^^^^
                         term4   term1   term2   term6   term3   term5

所以

             |1   px   py |
2·Area = det |1   qx   qy |
             |1   rx   ry |

Answer 2

如果空间是指面积，请记住三角形的面积是底除以高除以二。底可以是从 p 到 q 的距离、高度、从矩形 pq 到点 r 的距离。把方程式写下来，你就会明白的。