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以下内容的完整内容位于《每个计算机科学家应该了解的浮点运算知识》的第 8 页。在下文中指出“一般而言，当基数为 b 时，以 ulps 表示的固定相对误差可以摆动高达 b 的因子。”

有人可以详细证明这一点吗？“以 ulps 表示的固定相对误差可以波动高达 b 的因子”到底是什么意思；如果相对误差是固定的，那么它如何摆动或改变？

相对误差始终以 e 为界，称为机器 epsilon。

...

为了说明 ulps 和相对误差之间的区别，请考虑实数 x = 12.35。它近似为在此处输入图像描述= 1.24 x 10^1。误差为 0.5 ulps；相对误差为 0.8 e。接下来考虑计算 8x。精确值为 8 x = 98.8，而计算值为 8 在此处输入图像描述 = 9.92 x 10^1。误差现在是 4.0 ulps，但相对误差仍然是 0.8 e。即使相对误差相同，以 ulps 为单位测量的误差也大 8 倍。一般而言，当基数为 b 时，以 ulps 表示的固定相对误差可以摆动高达 b 的因子。相反，如等式。(2) 表明，1/2 ulps 的固定误差导致相对误差可以摆动 b。

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它与您给出的报价在同一页面上进行了演示，在“一般情况下，当基数为 b 时，以 ulps 表示的固定相对误差可以摆动高达 b 的因子。”</p>

该段解释了从 1.0000…0 • b e到 d.dddd…d • b e的数字，其中 d 是，正如我在这里使用的那样，数字 b-1，具有相同的 ULP，因为 ULP 是最后一位数字，最后一位数字的值由 b 的指数（以及有效数字中的位数，对于格式是固定的）确定。

这些数字跨越（几乎）b 的比率，因为 d.dddd...d 几乎是 b，所以 d.dddd...d / 1 几乎是 b。但它们具有相同的 ULP。因此，一个 ULP相对于数量的大小跨越了 b 的比率。

针对 2013 年 10 月 30 日，编辑：

“以 ulps 表示的固定相对误差可以波动高达 b 的因子”到底是什么意思；如果相对误差是固定的，那么它如何摆动或改变？

该错误据说是固定数量的 ULP。但是 ULP 的值不是固定的或恒定的，相对于浮点值而言，它是真正固定的或恒定的。

这里只是语言问题。将 ULP 称为“固定相对误差”是不准确的。但是，人们有时会在 ULP 中表达误差范围或误差量，因为浮点的性质会量化值，而这些量子就是 ULP。

ULP大约是一个相对误差。它在浮点格式的整个范围内保持在相同的范围内。考虑一个三位十进制格式：

  • 在 1.00 到 9.99 的区间内，ULP 的绝对值为 0.005。它相对于区间中的数字的值范围从 0.005 到（几乎）0.0005。
  • 在 1,000,000 到 9,990,000 的区间内，ULP 的绝对值为 5,000。它相对于区间中的数字的值范围从 0.005 到（几乎）0.0005。
  • 在 1.00•10 -100到 9.99•10 -100的区间内，ULP 的绝对值为 0.005•10 -100。它相对于区间中的数字的值范围从 0.005 到（几乎）0.0005。

如您所见，ULP 相对于浮点数的值始终保持在一个小区间内。因此，它用作相对误差的近似值。

我们在浮点算术中的相对误差表达式会以 b 因子摆动，这一事实来自两个数学事实：

  • 当您使用浮点算术并计算或得出有关可能发生的错误的证明时，您会发现自己以 ULP 为单位表达错误，因为浮点格式的量化导致边界处于 ULP 或半ULP。
  • 对于浮点值 x，当 x在浮点格式的单个指数区间内变化时，x 除以 x 的 ULP 的值会按因子 b 变化。当指数改变时，值 ULP(x)/x 将重置。
于 2013-10-29T14:47:32.720 回答