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我需要计算一个大矩阵（大约 1000*1000 甚至更多）的特征值和特征向量。Matlab 运行速度非常快，但不保证准确性。我需要它非常准确（大约 1e-06 错误是可以的）并且在合理的时间内（一两个小时是可以的）。

我的矩阵是对称的并且非常稀疏。确切的值是：对角线上的值，主对角线下方的对角线上，以及主对角线上方的对角线。例子：

示例矩阵

我怎样才能做到这一点？C++ 对我来说是最方便的。

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MATLAB 不保证准确性

我觉得这种说法不合理。您基于什么理由说您可以找到比 MATLAB 高度精细的计算算法（显着）更准确的实现？

并且...使用 MATLAB 的eig，在不到半秒的时间内计算出以下内容：

%// Generate the input matrix
X = ones(1000);
A = triu(X, -1) + tril(X, 1) - X;

%// Compute eigenvalues
v = eig(A);

很快就好了！

我需要这个非常准确（大约 1e-06 错误是可以的）

请记住，准确求解特征值与找到特征多项式的根有关。这个特定的 1000x1000 矩阵非常 病态：

>> cond(A)

ans =
    1.6551e+003

一般的经验法则是，对于 10 k的条件数，您可能会损失多达k位的准确性（除了由于算术方法的精度损失而导致数值方法丢失的数据之外）。

因此，在您的情况下，我希望结果准确到 10 -3的近似误差。

于 2013-10-29T08:16:23.523 回答
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如果您不反对使用第三方库，那么我在使用Armadillo线性代数库方面取得了巨大成功。

对于下面的例子，arma是他们喜欢使用的命名空间，vec是一个向量，mat是一个矩阵。

arma::vec getEigenValues(arma::mat M) {
    return arma::eig_sym(M);
}

您也可以将数据直接序列化，MATLAB反之亦然。

于 2013-10-29T03:39:18.690 回答
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您的系统是三对角系统和（对称）托普利茨矩阵。我猜想 eigen 和 Matlabeig有特殊情况来处理这样的矩阵。在这种情况下，特征值有一个封闭形式的解决方案（参考 (PDF)）。在您的矩阵的 Matlab 中，这很简单：

n = size(A,1);
k = (1:n).';
v = 1-2*cos(pi*k./(n+1));

这可以通过注意特征值的中心来进一步优化，1因此只需要计算其中的一半：

n = size(A,1);
if mod(n,2) == 0
    k = (1:n/2).';
    u = 2*cos(pi*k./(n+1));
    v = 1+[u;-u];
else
    k = (1:(n-1)/2).';
    u = 2*cos(pi*k./(n+1));
    v = 1+[u;0;-u];
end

我不确定您将如何使用简单的代码获得比这更快速和准确的方法（除了使用特征向量和优化执行细化步骤）。以上应该能够很容易地翻译成 C++（或使用 Matlabcodgen生成使用此或的 C/C++ 代码eig）。但是，您的矩阵仍然是病态的。请记住，准确度估计是最坏的情况。

于 2013-10-29T16:18:00.780 回答