algorithm - 在matlab中数值求解双积分

Question

在论文“有界域上的分数拉普拉斯算子作为非局部扩散算子的特例”。作者将有界域上的分数拉普拉斯方程求解为非局部扩散方程。

我正在尝试在matlab中实现一维问题的有限元逼近（请参阅上述论文的第14页）。

我正在使用 $\phi_k$ 的以下定义，因为论文中提到 $\phi$ 是$hat\;function$ \begin{equation} \phi_{k}(x)=\begin{cases} {x-x_{k-1} \over x_k\,-x_{k-1}} & \mbox{ if } x \in [x_{k-1},x_k], \\ {x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_k} & \mbox{ if } x \in [x_k,x_{k+1}], \\ 0 & \mbox{ otherwise},\end{cases} \end{equation}

$\Omega=(-1,1)$ 和 $\Omega_I=(-1-\lambda,-1) \cup (1,1+\lambda)$ 使得 $\Omega\cup\Omega_I=(-1 -\lambda,1+\lambda)$

对于整数 K,N，我们将 $\overline{\Omega\cup\Omega_I}=[-1-\lambda,1+\lambda]$ 的划分定义为：

\begin{方程} -1-\lambda=x_{-K}<...

最后，对于某些系数 $U_j$，我们必须求解以获得解 $\tilde{u_N}=\sum_{i=-K}^{K+N}U_j\phi_j(x)$ 的方程是：

其中 $i=1,...,N-1$。

我需要指针来简化和解决matlab中的LHS双积分。在论文（第15页）中写到我应该使用四点高斯正交进行内积分，使用quadgk.m函数进行外积分，但是由于限制内部积分的值是 x 我如何在它上面应用四点高斯求积？？任何帮助将不胜感激。谢谢。

您可以在此处找到原始问题。（因为 SO 不支持 Latex）

Answer 1

对于问题的第一次尝试，请查看dblquad和/或quad2d。

最后，您将需要自定义正交方法，因此您应该执行以下操作：

% The integrand is of course a function of both x and y
integrand = @(x,y) (phi_j(y) - phi_j(x))*(phi_i(y) - phi_i(x))/abs(y-x)^(2*s+1);

% The inner integral is a function of x, and integrates over y
inner = @(x) quadgk(@(y)integrand(x,y), x-lambda, x+lambda);

% The inner integral is integrated over x to yield the value of the double integral 
dblIntegral = quadgk(inner, -(1+lambda), 1+lambda)

我用过quadgk两次，但你可以用你喜欢的任何其他（自定义）正交方法替换。

顺便说一句——作者提出（非自适应）4 点高斯方法的原因是什么？这样，您就无法估计（和/或控制）内部积分中的误差......

Answer 2

您可以进行 4 点 1D 高斯求积。您似乎认为这意味着二维积分。不是这样 - 这是假设一维的高阶正交。

如果您正在解决一维有限元问题，那么在二维域上进行积分毫无意义。

我没有读过这篇论文，但这就是我从 FEA 中学到的。