math - 最小骑士从一个方格移动到另一个方格

Question

是否有一个数学公式可以用来计算在无限二维网格中的两点之间获得的最小骑士移动次数？我可以使用广度优先搜索来解决这个问题，但是我们可以使用封闭形式的表达式吗？

谢谢！

Answer 1

我认为没有一个公式可以为所有点对生成最小距离。

但是对于一些特殊点是有的。让 A，B 是 2D 网格上的点，其中A = (0,0)和B = (x,y)以及dist(x,y)最小的骑士移动次数。

首先，距离是对称的：

dist(x,y) = dist(-x,y) = dist(x,-y) = dist(-x,-y) = dist(y,x)

1. 案例：2x=y->dist(x,2x) = x
2. 案子：x = 0
   • 子案例 1：y = 4k（k 是自然数）
     ->dist(x,y) = 2k
   • 子案例 2：y = 4k+1或y = 4k+3
     ->dist(x,y) = 2k + 3
   • 子案例 3：y = 4k+2
     ->dist(x,y) = 2k + 2
3. 案子：x = y
   • 子案例 1：x = 3k（k 是自然数）
     ->dist(x,y) = 2k
   • 子案例 2：x = 3k+1
     ->dist(x,y) = 2k + 2
   • 子案例 3：y = 3k+2
     ->dist(x,y) = 2k + 4

如果 B (with 0 <= x <= y) 在任何情况下都不适合，你至少知道
dist(x,y) <= dist(x-k,y-2k) + dist(k,2k) = dist(0,y-2k) + k
并且
dist(x,y) <= dist(x-z,y-z) + dist(z,z) = dist(0,y-z) + dist(z,z)

编辑： 我已经考虑了更多。我认为以下算法计算最小移动（Maple Code）：

dist := proc(x,y)
  global d;
  local temp;

  if x < 0 then x:= -x; fi;
  if y < 0 then y:= -y; fi;
  if x > y then temp := x; x:= y; y:= temp; fi;

  if y = 2*x then return x; fi;
  if x = y then 
    if x mod 3 = 0 then return 2*(x/3); fi;
    if x mod 3 = 1 then return 2+2*(x-1)/3 fi;
    if x mod 3 = 1 then return 4+2*(x-2)/3 fi;
  fi;
  if x = 0 then
    if y mod 4 = 0 then return y/2; fi;
    if y mod 4 = 1 or y mod 4 = 3 then return 3+(y - (y mod 4))/2; fi;
    if y mod 4 = 2 then return 2+(y-2)/2; fi;
  fi;
  if y > 2*x then
    return dist(0,y-2*x) + dist(x,2*x);        
  else
    return dist(2*x-y,2*x-y) + dist(y-x,2*(y-x));
  fi;
end proc:

注意：这仅在无限 2D 网格上是正确的。

EDIT2：此（递归）算法在O(1)（时间和空间）中运行，因为它具有恒定数量的O(1)操作，并且最多再调用一次。

EDIT3：我想得更远一点，我认为这在有限的二维网格上也是正确的，如果A或B至少距离一个边界至少 1 行/列。