math - 0 到 1 之间的实数集真的不可数无限吗？

Question

康托的可数无限和不可数无限无限集

您可能知道并且您可能已经证明 0 到 1 之间的实数集是不可数无限的。意味着我们不能将该集合中的每个数字映射到不同的自然数上。

我得到了一种技术，通过它我可以将 0 到 1 之间的所有实数映射到不同的自然数上。技术很简单将小数点替换为 1 并将原始数字映射到该数字上，这样将 0.0003 映射到 10003 并将 0.03 映射到 103

通过使用这种技术，我们将能够将所有介于 0 和 1 之间的实数映射到自然数上。所有这些自然数都将从 1 开始，因此我们还将拥有其他数字，在这些数字上没有任何数字将被映射，例如 2、211 或 79，因此这意味着自然数集比 0 和 1 之间的实数更大。所以 0 到 1 之间的实数集是可数无限的。

你的意见是什么？

Answer 1

0 到 1 之间的实数集是不可数无限的，正如你所熟悉的康托尔的对角线论证所示。

你可能会感到惊讶的是，0 到 1 之间的有理数集是可数无限的。也就是说，整数与具有有限十进制扩展的所有分数和数字之间存在一对一的对应关系。你可以在这里找到证明。

Answer 2

这不起作用，因为任意非有理实数（例如 0.5123129421...）是合法实数，但数字 15123129421... 不是。在前者的情况下，您可以指出（至少在原则上）它将位于数轴上的位置，但对于后者，这是不可能的。试着说出 15123129421... 作为一个数字（比如 1022 是一千二十二）。您将无法做到，因为这样的数字不是自然数。