python - Python 矩阵和实现 Gram-Schmidt 过程

Question

我应该生成一个随机的 40 x 40 矩阵 A，其指数级奇异值定义为 2^-1 2^-2...2^-40。我该怎么做呢？它说 np.linalg.qr 很有用。我正在考虑做 np.random.rand(40,40) 但我不知道如何使对角线呈指数上升

然后它说要实施 Gradm-Schmidt 过程 Help！

Answer 1

评论有点长，所以即使它不是真正的答案，我也会把它留在这里。

如果您首先生成一个随机 40x40 矩阵，则无法强制它具有您想要的特征值。相反，从对角化向后工作会更容易。你得到特征值，只需制作一些随机特征向量并重新计算矩阵。

由于给定了不同的特征值 \mu_i = 2^-i，因此您知道特征向量跨度为 R^40。我个人会采用 40x40 单位矩阵并随机旋转它以使 U 然后执行 A=UDU*。其中 D_{ij} = \delta_{ij}\mu_i

如果您需要使用 Gram-Schmidt，您可以改为生成 40 个随机线性独立向量并使用 Gram-Schmidt 来获得 U。