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我有一个像这个例子这样的矩阵（我的实际矩阵可能要大得多）

A = [-1 -2   -0.5;
      0  0.5  0;
      0  0   -1];

只有两个线性无关的特征值（特征值 -1 重复）。我想用广义特征向量获得一个完整的基础。我知道如何做到这一点的一种方法是使用jordan符号数学工具箱中的 Matlab 函数，但我更喜欢为数字输入设计的东西（事实上，有两个输出，jordan对于大型矩阵失败：“MuPAD 命令中的错误：相似矩阵太大。”）。我不需要 Jordan 规范形式，它在数字上下文中是出了名的不稳定，只需要一个广义特征向量的矩阵。是否有一种功能或功能组合可以以数值稳定的方式自动执行此操作，或者必须使用通用手动方法（这样的程序有多稳定）？

注意：“广义特征向量”是指一个非零向量，可用于增强所谓的缺陷矩阵的不完全基。我并不是指与使用or解决广义特征值问题所获得的特征值相对应的特征向量（尽管后一种用法很常见，但我认为最好避免使用）。除非有人能纠正我，否则我不相信两者是相同的。eigqz


更新 1 - 五个月后：

请参阅我的答案，了解如何为大于 82×82 的矩阵（我的测试矩阵在这个问题中的限制）象征性地获得广义特征向量。

我仍然对数字方案感兴趣（或者如果它们都与计算 Jordan 形式有关，那么这些方案可能会如何不稳定）。我不希望盲目地实现已被标记为该问题重复的线性代数 101 方法，因为它不是数值算法，而是用于评估学生的纸笔方法（我想它可以实现然而，象征性地）。如果有人可以指出该方案的实现或对其进行数值分析，我会对此感兴趣。

更新 2 - 2015 年 2 月：以上所有内容在 R2014b 中测试仍然正确。

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正如我在评论中提到的，如果您的矩阵有缺陷，但您知道在给定容差的情况下您想将哪个特征向量/特征值对视为相同，您可以按照以下示例进行操作：

% example matrix A:
A = [1 0 0 0 0; 
     3 1 0 0 0; 
     6 3 2 0 0; 
     10 6 3 2 0;
     15 10 6 3 2]
% Produce eigenvalues and eigenvectors (not generalized ones)
[vecs,vals] = eig(A)

这应该输出：

vecs =

     0         0         0         0    0.0000
     0         0         0    0.2236   -0.2236
     0         0    0.0000   -0.6708    0.6708
     0    0.0000   -0.0000    0.6708   -0.6708
1.0000   -1.0000    1.0000   -0.2236    0.2236


vals =

 2     0     0     0     0
 0     2     0     0     0
 0     0     2     0     0
 0     0     0     1     0
 0     0     0     0     1

我们看到前三个特征向量与工作精度几乎相同，最后两个特征向量也是如此。在这里，您必须知道问题的结构并识别相同特征值的相同特征向量。在这里，特征值是完全相同的，所以我们知道要考虑哪些，我们将假设对应的向量 1-2-3 是相同的，向量 4-5 是相同的。（在实践中，您可能会检查特征向量差异的范数并将其与您的容差进行比较）

现在我们继续计算广义特征向量，但这不适用于简单地用 matlab 求解\，因为显然(A - lambda*I)不是满秩的。所以我们使用伪逆：

genvec21 = pinv(A - vals(1,1)*eye(size(A)))*vecs(:,1);
genvec22 = pinv(A - vals(1,1)*eye(size(A)))*genvec21;
genvec1 = pinv(A - vals(4,4)*eye(size(A)))*vecs(:,4);

哪个应该给出：

genvec21 =

   -0.0000
    0.0000
   -0.0000
    0.3333
         0

genvec22 =

    0.0000
   -0.0000
    0.1111
   -0.2222
         0

genvec1 =

    0.0745
   -0.8832
    1.5317
    0.6298
   -3.5889

这是我们的其他广义特征向量。如果我们现在检查这些以获得这样的乔丹范式：

jordanJ = [vecs(:,1) genvec21 genvec22 vecs(:,4) genvec1];
jordanJ^-1*A*jordanJ

我们获得：

ans =

2.0000    1.0000    0.0000   -0.0000   -0.0000
     0    2.0000    1.0000   -0.0000   -0.0000
     0    0.0000    2.0000    0.0000   -0.0000
     0    0.0000    0.0000    1.0000    1.0000
     0    0.0000    0.0000   -0.0000    1.0000

这是我们的 Jordan 范式（有工作精度误差）。

于 2015-02-16T09:47:04.410 回答