math - 二维几何形状的渐变

Question

我一直在使用 Perlin 噪声和径向渐变的组合来生成岛屿 - 正如这个很棒的 Reddit 答案中所概述的那样。它工作得很好，但显然这些岛屿都是圆形的，我想要更多种类。

我想知道是否有一种将几何形状方程转换为梯度方程的通用方法。例如。一个方程，它的形状就像欧几里得距离对于一个圆。这可能吗？很明显吗？

Answer 1

为几何形状或水平集( wiki ) 定义隐式曲面基本上就是您所要求的。例如，半径为 R 的圆的隐式曲面为

f(x,y) = x^2 + y^2 - R^2

请注意，当 f(x,y) = 0 时，它定义了圆的表面。当 f(x,y) < 0 时，则 x^2 + y^2 < R^2，即点 (x,y) 在以原点为中心的圆内。最后 f(x,y) > 0 表示点 (x,y) 在圆外。为了从中创建图像，您需要遍历每个像素并评估 f(x,y)，同时找到最小值和最大值，然后将整个图像缩放到 0 到 1 之间的范围。

这在技术上不会给你距离。圆是一种特殊情况，因为它的方程 (x^2 + y^2)是距原点的平方距离函数。这确实为您提供了您最有可能寻找问题的效果 - 内部为负，内部为正（反之亦然），而幅度则根据给定点到表面的距离进行缩放。

对于您为几何形状提出的任何方程，您需要在一侧获取所有项以形成 f(x,y)。例如，取 x*y = log(x)。这可以变成 x*y - log(x) = 0，所以 f(x,y) = x*y - log(x)。