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我正在编写扩展圆矩形碰撞检测（交叉点）以包括对碰撞的响应的软件。圆边和圆矩形相当直接。但是一圈圈让我难住了。

例如，在离散事件模拟中，让两个圆相撞，一个红色和一个绿色。我们可能有以下情况：

两个圆圈碰撞

在它们发生碰撞后，我们可以立即：

扩大的圆圈碰撞

这里 RIP 和 GIP 是上一个时钟滴答时圆圈的位置。在当前时钟滴答处，在 RDP 和 GDP 上检测到冲突。然而，当两个圆圈位于 RCP 和 GCP 时，时钟滴答之间发生了冲突。在时钟滴答声中，红色圆圈使 RVy 向下移动，RVx 向右移动；绿色圆圈向下移动 GVy，向左移动 GVx。RVy 不等于 GVy；RVx 也不等于 GVx。

圆-圆计算

碰撞发生在圆心之间的距离小于或等于圆半径之和时，即上图中d <= ( Rr + Gr )。在 d < ( Rr + Gr ) 的碰撞中，我们需要在调整圆的速度分量之前将 DP 定位回 CP。在 d == ( Rr + Gr ) 的情况下，不需要重新定位，因为 DP 位于 CP 处。

这就是问题所在：我如何回到 CP。一些作者建议应用下图中由 p 给出的一半穿透。

渗透

对我来说，这完全是错误的。它假设两个圆的速度矢量相等，但在本例中并非如此。我认为渗透与计算有关，但我如何逃避。我确实知道这个问题可以重新定义为直角相似三角形的问题，我们要在其中解决 Gcdy 和 GCdx。

右相似三角形

碰撞本身将被建模为弹性，并且惯性交换的数学已经到位。唯一的问题是碰撞时圆圈的位置。

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4 回答 4

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“这就是问题所在：我该如何行动。”

您可能想知道如何“在调整圆的速度分量之前将 DP 定位回 CP”。

因此有两个问题，如何确定 CP（发生碰撞的位置）以及如何调整圆从该点向前的运动。第一部分有一个相当简单的解决方案（允许不同的半径和速度分量），但第二部分取决于是否对弹性或非弹性响应进行建模。在评论中，您写道：

碰撞将被建模为弹性。惯性交换的数学已经到位。问题是在哪里放置圆圈。

鉴于我将只解决第一个问题，解决发生碰撞的确切位置。假设两个圆都匀速运动，知道碰撞发生的确切时间就足够了，即圆心之间的距离何时等于它们的半径之和。

对于匀速运动，可以通过从另一个圆（绿色）的速度减去它的速度来将一个圆（红色）视为静止的。实际上，我们将第一个圆的中心视为固定的，并且只考虑第二个圆处于（匀速）运动中。

现在通过求解一个二次方程来找到确切的碰撞时间。令 V = (GVx-RVx, GVy-RVy) 为圆的相对运动，令 P = (GIPx-RIPx,GIPy-RIPy) 它们在碰撞前的“瞬间”中的相对位置。我们通过定义为相对位置 P“动画”一条线性路径：

P(t) = P + t*V

并询问这条直线何时与半径 Rr+Gr 的原点周围的圆相交，或者何时相交：

(Px + t*Vx)^2 + (Py + t*Vy)^2 = (Rr + Gr)^2

这是一个未知时间 t 的二次方程，所涉及的所有其他量都是已知的。情况是这样的（在位置 CP 处或之前发生碰撞）将存在正实解（通常有两个解，一个在 CP 之前，一个在 CP 之后，但可能是掠过接触，产生“双根”）。您想要的解决方案（根）t 是较早的解决方案，即 t（在“即时”RIP、GIP 位置为零）较小的解决方案。

于 2013-08-24T13:34:05.617 回答
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如果您正在寻找有关圆形物体非弹性碰撞的基本参考资料，池厅课程： Joe van den Heuvel 和 Miles Jackson 的圆或球体之间的快速、准确的碰撞检测非常容易理解。

从最不正式到最正式，这里有一些关于实现支持您的问题（冲突响应）解决方案的编程工艺的后续参考。

您将不得不接受一些近似值 - 贝克曼在视频中演示，即使对于非常简单的情况，也无法通过分析预测会发生什么，这甚至更糟，因为您正在模拟具有离散步骤的连续系统。

于 2013-08-24T09:01:36.683 回答
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要以恒定速度重新定位两个重叠的圆，您需要做的就是找到发生碰撞的时间，并将它们的速度因子添加到它们的位置。

首先，我们将考虑一个具有组合半径和相对位置和速度的圆，而不是两个圆移动。让输入圆有位置P1和P2、速度V1和V2、半径r1和r2。让组合圆有位置P = P2 - P1、速度V = V2 - V1和半径r = r1 + r2。

在此处输入图像描述

我们必须找到圆穿过原点的时间，换句话说，找到twhich的值r = |P + tV|。应该有 0、1 或 2 个值，具体取决于圆是不通过原点、与原点相切还是穿过原点。

r^2 = ||P + tV||通过平方两边。

r^2 = (P + tV)*(P + tV) = t^2 V*V + 2tP*V + P*P利用L2范数等价于向量与自身的点积这一事实，然后分布点积。

t^2 V*V + 2tP*V + P*P - r^2 = 0把它变成一个二次方程。

如果没有解，则判别式b^2 - 4ac为负。如果它是零或正数，那么我们对第一个解决方案感兴趣，因此我们将减去判别式。

a = V*V
b = 2 P*V
c = P*P - r^2
t = (-b - sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

t碰撞的时间也是如此。

于 2016-11-14T21:43:54.380 回答
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在给定初始位置和速度矢量的情况下，您实际上可以推导出到达碰撞所需时间的表达式。

调用您的对象 A 和 B，并说它们分别具有位置向量a和b以及速度向量u和v。假设 A 在每个时间步以u个单位的速率移动（因此，在时间 = t 时，A 在a处；在时间 = t + 1 时，A 在a + u处）。

我不确定您是否想查看推导；它看起来不太好...我对 LaTeX 的了解非常有限。（如果您确实希望我这样做，我可以稍后对其进行编辑）。不过，就目前而言，这就是我所拥有的，使用通用的 C#-ish 语法，具有声明为 Vector2(X, Y) 的 Vector2 类型，并具有向量加法、标量乘法、点积和长度的函数。

double timeToCollision(Vector2 a, Vector2 b, Vector2 u, Vector2 v)
{
    // w is the vector connecting their centers;
    // z is normal to w and equal in length.
    Vector2 w = b - a;
    Vector2 z = new Vector2(-1 * w.Y, w.X);
    Vector2 s = u - v;
    // Dot() represents the dot product.
    double m = Dot(z, s) / Dot(w, s);

    double t = w.Length() / Dot(w, s) * 
              (w.Length() - sqrt( ((2 * r) ^ 2) * (1 + m ^ 2) - (m * w.Length()) ^ 2) ) / 
              (1 + m * m)

    return t;
}

至于对碰撞的反应：如果你可以快进到撞击点，你就不必担心处理相交的圆圈。

如果你有兴趣，这个表达式在没有碰撞的情况下会给出一些很酷的结果。如果两个物体彼此远离，但如果它们的速度相反，则会发生碰撞，您将得到 t 的负值。如果对象位于不平行但永远不会相遇（彼此通过）的路径上，您将在平方根内得到一个负值。丢弃平方根项，您将得到它们彼此最接近的时间。如果它们以相同的速度平行移动，则分母将为零，t 的值未定义。

好吧，希望这会有所帮助！我碰巧遇到了和你一样的问题，决定看看能不能在纸上解决。

编辑：我应该在发布之前更仔细地阅读以前的回复......上面的公式的混乱确实是hardmath描述的二次方程的解。为多余的帖子道歉。

于 2014-01-02T06:55:58.013 回答