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我需要解决的问题是在具有法线向量 (1, 1, 1, 1) 的超平面上旋转 4D 中给出的 4-单纯形，以便我可以在 3D 中绘制它。例如，我需要知道具有顶点 e_i（即坐标向量）的常规旋转，以及除法后的所有子单纯形。

为了理解这个问题，让我们回到一维。如果您在超平面上有一个 3D 中的 3-simplex 法向量 (1, 1, 1) 像这里 ( http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/38/2D-simplex.svg /150px-2D-simplex.svg.png），可以按照Nosredna的想法来回答问题

将法线向量旋转到轴平面上

它在 3D 中运行良好，但在 4D 中没有交叉产品，因此我无法将此答案扩展到我的问题。另一方面，使用旋转矩阵，我设法将单纯形绕 x 轴旋转 -45 度，然后使用坐标旋转矩阵（http： // upload.wikimedia.org/math/2/8/5/2851c9dc2031127e6dacfb84b96446d8.png)。

我还尝试从http://ken-soft.com/2009/01/08/graph4d-rotation4d-project-to-2d/中的轴旋转计算旋转矩阵，但我不知道应该是什么角度使用。所以我使用 R=rotXU*rotYU*rotZU 和角度 pi/4、-atan(sqrt(2)/2 和 -pi/6，看起来不错，但不知何故，结果并不好。

抱歉，我是新手，无法直接放图片...

感谢您的任何回答！

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4D 中没有旋转轴，出于同样的原因，没有叉积：4D 旋转组是 6 维的，而您正在旋转的空间是 4 维的。例如，想象一下在 XY 平面和 ZT 平面上同时旋转：它没有非零静止向量，因此也没有轴。

最合适的做法是使用通常的变换矩阵，它适用于任何维度 N：

[ a11 ... a1N d1 ]
...
[ aN1 ... aNN dN ]
[ 0 ...   0   1  ]

这里 d1 ... dN 表示平移，NxN 子矩阵 aIJ 表示旋转、膨胀、投影和镜像。为了限制旋转，只使这个矩阵正交：它与自己的转置的乘积应该是单位矩阵。这是 N=2 和 N=3 的常见做法，您只需对 N=4 执行相同操作。

要在您的情况下找到合适的旋转矩阵，请写下正交 4x4 矩阵的整个第 4 行为零的要求，这将为您提供一堆解决方案，每个解决方案都是您问题的可接受答案。

于 2013-08-18T07:32:14.553 回答