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给定点之间的距离矩阵，是否有一种算法可以确定一组具有这些距离的 n 维点？（或至少最小化错误）

有点像收费公路问题的 n 维版本。

我能想到的最好的方法是使用多维缩放。

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4 回答 4

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您在多维缩放 (MDS) 方面走在正确的轨道上，但 MDS 对于大型数据集是不切实际的，因为它的时间复杂度是点数的二次方。你可能想看看 FastMap，它具有线性时间复杂度，更适合索引。看：

Christos Faloutsos 和 King-Ip Lin：“FastMap：传统和多媒体数据集的索引、数据挖掘和可视化的快速算法，在Proc. SIGMOD中，1995 年，doi:10.1145/223784.223812

于 2008-10-09T16:31:25.140 回答
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您可以“作弊”并为此使用迭代数值方法。最初将所有点置于某些“随机”位置，然后循环遍历它们，使它们按所需距离成比例地彼此远离。这将更喜欢一些点，但在应用它们之前取平均移动，然后应用平均将消除这个问题。这是一个 O(n²) 算法，但实现和理解非常简单。在下面的二维示例中，误差为 << 10%，但如果给定的距离不切实际，它可能表现不佳。

C++ 示例：

#include <conio.h>
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define DAMPING_FACTOR 0.99f

class point
{
public:
    float x;
    float y;
public:
    point() : x(0), y(0) {}
};

// symmetric matrix with distances
float matrix[5][5] =    {
                            { 0.0f, 4.5f, 1.5f, 2.0f, 4.0f },
                            { 4.5f, 0.0f, 4.0f, 3.0f, 3.5f },
                            { 1.5f, 4.0f, 0.0f, 1.0f, 5.0f },
                            { 2.0f, 3.0f, 1.0f, 0.0f, 4.5f },
                            { 4.0f, 3.5f, 5.0f, 4.5f, 0.0f }
                        };
int main(int argc, char** argv)
{
    point p[5];
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        p[i].x = (float)(rand()%100)*0.1f;
        p[i].y = (float)(rand()%100)*0.1f;
    }

    // do 1000 iterations
    float dx = 0.0f, dy = 0.0f, d = 0.0f;
    float xmoves[5], ymoves[5];

    for(unsigned int c = 0; c < 1000; ++c)
    {
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i) xmoves[i] = ymoves[i] = 0.0f;
        // iterate across each point x each point to work out the results of all of the constraints in the matrix
        // collect moves together which are slightly less than enough (DAMPING_FACTOR) to correct half the distance between each pair of points
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            if(i==j) continue;
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            d = sqrt(dx*dx + dy*dy);
            dx /= d;
            dy /= d;
            d = (d - matrix[i][j])*DAMPING_FACTOR*0.5f*0.2f;

            xmoves[i] -= d*dx;
            ymoves[i] -= d*dy;

            xmoves[j] += d*dx;
            ymoves[j] += d*dy;
        }

        // apply all at once
        for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
        {
            p[i].x += xmoves[i];
            p[i].y += ymoves[i];
        }
    }

    // output results
    printf("Result:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            printf("%f ", sqrt(dx*dx + dy*dy));
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("\r\nDesired:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            printf("%f ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("Absolute difference:\r\n");
    for(unsigned int i = 0; i < 5; ++i)
    {
        for(unsigned int j = 0; j < 5; ++j)
        {
            dx = p[i].x - p[j].x;
            dy = p[i].y - p[j].y;
            printf("%f ", abs(sqrt(dx*dx + dy*dy) - matrix[i][j]));
        }
        printf("\r\n");
    }

    printf("Press any key to continue...");

    while(!_kbhit());

    return 0;
}
于 2009-02-01T04:46:26.557 回答
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Programming Collective Intelligence , p.中有一个算法可以做到这一点。49，“在二维中查看数据”，可适用于 n 维。

嘿 - 这是多维缩放 - 所以我猜你是在正确的轨道上。

于 2008-10-08T11:48:26.833 回答
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我无法编辑原件，因为我没有足够的代表，但我试图在这里重申问题。

OP 有一个输入 NxN 距离矩阵。他想创建一个大小为 N 的输出数组，其 N 维坐标表示点，其中每个点之间的距离存储在输入矩阵中。

请注意，这在一般情况下是无法解决的：

假设我有一个这样的矩阵

   美国广播公司  
一个 x 1 2  
乙×0  
Cx

A 距离 B 1 个单位的距离（例如 1 米），A 距离 C 1 米。但 B 和 C 在同一个位置。

在这种特殊情况下，误差的最小总和为 1 米，并且有无数种解决方案可以实现该结果

于 2008-10-08T11:47:32.203 回答