我需要将 for 循环转换为总和国家的帮助。其中一些很容易，但另一些则有点棘手。我需要正确设置和符号。
像这样：（正确的例如循环）
举个例子：
for (int i = 0; i < n; i = i + 1)
a = i; //cost 1
总和 1，i=0 到 n-1 == n。
我需要以下帮助：
对数（只是正确的和符号）
for (int i = 0; i < n; i = 2 * i)
a = i; //cost 1
总和 1，i=0 到 log(n)-1 == log n。正确的？？
三重嵌套（求和表示法和一步一步为什么它最终喜欢它）
for (int i = 0; i < n; i = i + 1)
for (int j = 0; j <= i; j = j + 1)
for (int k = 0; k <= j; k = k + 1)
a=i; //cost 1
我将给出一个简单但非常有用的方法来根据渐近符号分析此类求和。
这是一种非常通用的方法，您可以使用它来绑定许多多个索引总和，而无需付出很大的努力。
首先，让我们推导出总和的上限。这很容易：
在这种情况下，诀窍是推导出下限。经验法则是减小求和范围，将下求和索引递增到上索引的分数，然后将新的下索引替换为嵌套循环中的上索引。这也很容易：
从这两个不等式中，您可以推断出：
就渐近分析而言，它给出：
如您所见，您的三重嵌套循环具有与以下相同的渐近时间复杂度：
for(int i = 0; i < n; i = i + 1)
for(int j = 0; j < n; j = j + 1)
for(int k = 0; k < n; k = k + 1)
//operations of cost 1
对于对数循环：
首先，在处理对数循环时，您不能将索引初始化为零。
其次，以下是使用 Sigma 符号表示算法循环的方式：
请看Jauhar 博士的这份文件的最后一张幻灯片。
对于三个嵌套循环：
Mark Allen Weiss 的工作可能对您有很大帮助。请参阅此链接。
第二个 for 循环永远不会停止 ( 0 * 2 = 0)。我猜，你问的是这个循环：
for (int i = 1; i < n; i = 2 * i)
a = i; //cost 1
在这种情况下，通过求和符号表示的复杂性将是：
总和 1，i=1 到 log(n-1) == O(log n)
在这种情况下，它将是以下各项的总和：
number of steps sum
--------------------------------------
1 1 1 1 1 1 . n
2 2 2 2 2 . 2(n-1)
3 3 3 3 . 3(n-2)
4 4 4 . 4(n-3)
. . . .
n-1 n-1 2(n-1)
n n
或者，如果我转置三角形：
number of steps sum
--------------------------------------
1 2 3 4 . n-1 n n(n+1)/2
1 2 3 4 . n-1 (n-1)(n)/2
1 2 3 4 . (n-2)(n-1)/2
1 2 3 . 4(n-3)
1 2 . .
1 . 3
. 1
右侧的数字（在第二个三角形中）也称为三角形数字。所以这个问题相当于
"小于或等于 f(n) 的三角形数之和是多少。(f(1) + f(2) + f(n)，其中 f(x) = x(x+1)/2)。
这个问题的答案是
f(n) = n(n+1)(n+2)/6
证据就在这里。
所以 big-o 的结果复杂度是O(n^3)