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我将椭圆作为拟合数据集的水平曲线。选择特定椭圆后，我想将其报告为中心点、半长轴和短轴长度以及旋转角度。换句话说，我想从以下形式转换（使用mathematica）我的椭圆方程：

Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + Exy + F = 0

更标准的形式：

((xCos[alpha] - ySin[alpha] - h)^2)/(r^2) + ((xSin[alpha] + yCos[alpha] - k)^2)/(s^2) = 1

其中(h,k)是中心，alpha是旋转角度，r和s是半轴

我试图转换的实际方程是

 1.68052 x - 9.83173 x^2 + 4.89519 y - 1.19133 x y - 9.70891 y^2 + 6.09234 = 0

我知道中心点是拟合最大值，即：

 {0.0704526, 0.247775}
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2 回答 2

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我在 Math SE 上发布了这个答案的一个版本，因为它从正确的数学排版中受益匪浅。那里的例子也更简单，还有一些额外的细节。

以下描述遵循德语维基百科文章 Hauptachsentransformation。根据跨wiki链接，它的英文对应物是主成分分析。我发现前一篇文章比后者更具几何性。不过，后者非常关注统计数据，因此它可能对您有用。

回转

你的椭圆被描述为

        [A   E/2]   [x]             [x]
[x y] * [E/2   B] * [y]  +  [C D] * [y] + F = 0

首先，您确定旋转。你可以通过识别这个 2×2 矩阵的特征值和特征向量来做到这一点。这些特征向量将形成一个正交矩阵来描述您的旋转：它的条目是Sin[alpha]和Cos[alpha]来自您的公式。

用你的数字，你得到

[A  E/2]   [-0.74248  0.66987]   [-10.369  0     ]   [-0.74248 -0.66987]
[E/2  B] = [-0.66987 -0.74248] * [ 0      -9.1715] * [ 0.66987 -0.74248]

三个因素中的第一个是由特征向量形成的矩阵，每个都归一化为单位长度。中心矩阵在对角线上有特征值，最后一个是第一个的转置。如果将向量(x,y)与最后一个矩阵相乘，那么您将改变坐标系，使混合项消失，即 x 和 y 轴平行于椭圆的主轴。这正是您想要的公式中发生的事情，所以现在您知道了

Cos[alpha] = -0.74248  (-0.742479398678 with more accuracy)
Sin[alpha] =  0.66987  ( 0.669868899516)

翻译

如果将[C D]上述公式中的行向量与三个矩阵中的第一个相乘，则此效果将完全取消乘以(x, y)第三个矩阵。因此，在该更改后的坐标系中，您将中心对角矩阵用于二次项，并将此乘积用于线性项。

                     [-0.74248  0.66987]
[1.68052, 4.89519] * [-0.66987 -0.74248] = [-4.5269 -2.5089]

现在您必须独立完成和的正方形，最终得到一个表格，您可以从中读取中心坐标。xy

-10.369x² -4.5269x = -10.369(x + 0.21829)² + 0.49408
-9.1715y² -2.5089y = -9.1715(y + 0.13677)² + 0.17157

h = -0.21829  (-0.218286476695)
k = -0.13677  (-0.136774259156)

注意h并k描述已经旋转的坐标系中的中心；要获得原始中心，您将再次与第一个矩阵相乘：

[-0.74248  0.66987]   [-0.21829]   [0.07045]
[-0.66987 -0.74248] * [-0.13677] = [0.24778]

符合你的描述。

缩放

上面完成的正方形为常数因子贡献了更多的项F：

6.09234 + 0.49408 + 0.17157 = 6.7580

现在你把它移到方程的右边，然后把整个方程除以这个数字，这样你就可以= 1从你想要的形式中得到 。然后你可以推断出半径。

1    -10.369
-- = ------- = 1.5344
r²   -6.7580

1    -9.1715
-- = ------- = 1.3571
s²   -6.7580

r = 0.80730  (0.807304599162099)
s = 0.85840  (0.858398019487315)

验证结果

现在让我们检查一下我们没有犯任何错误。使用我们找到的参数，您可以拼凑出等式

  ((-0.74248*x - 0.66987*y + 0.21829)^2)/(0.80730^2)
+ (( 0.66987*x - 0.74248*y + 0.13677)^2)/(0.85840^2) = 1

将1向左移动，然后乘以-6.7580，您应该得到原始方程。扩展它（在括号中打印额外的精度版本），你会得到

-9.8317300000 x^2
-1.1913300000 x y
+1.6805200000 x
-9.7089100000 y^2
+4.8951900000 y
+6.0923400000

这是您输入的完美匹配。

于 2013-08-02T23:57:10.027 回答
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如果你有h和k，你可以使用拉格朗日乘数来最大化/最小化(x-h)^2+(y-k)^2受椭圆约束的函数。最大距离是大半径，最小距离是小半径，以及alpha它们从水平方向旋转的程度。

于 2013-08-02T22:15:38.580 回答