algorithm - 段树、区间树、二叉索引树和范围树有什么区别？

Question

段树、区间树、二叉索引树和范围树在以下方面有什么区别：

• 关键思想/定义
• 应用
• 更高维度的性能/订单/空间消耗

请不要只给出定义。

Answer 1

所有这些数据结构都用于解决不同的问题：

• 段树存储区间，并针对“这些区间中的哪些包含给定点”查询进行了优化。
• 区间树也存储区间，但针对“这些区间中的哪些与给定区间重叠”查询进行了优化。它也可以用于点查询——类似于线段树。
• 范围树存储点，并针对“哪些点落在给定区间内”查询进行了优化。
• 二进制索引树存储每个索引的项目计数，并针对“索引 m 和 n 之间有多少项目”查询进行了优化。

一维的性能/空间消耗：

• Segment tree - O(n logn) 预处理时间，O(k+logn) 查询时间，O(n logn) 空间
• 区间树- O(n logn) 预处理时间，O(k+logn) 查询时间，O(n) 空间
• 范围树- O(n logn) 预处理时间，O(k+logn) 查询时间，O(n) 空间
• 二叉索引树- O(n logn) 预处理时间，O(logn) 查询时间，O(n) 空间

（k 是报告结果的数量）。

所有数据结构都可以是动态的，因为使用场景包括数据更改和查询：

• 段树- 可以在 O(logn) 时间内添加/删除间隔（参见此处）
• 间隔树- 可以在 O(logn) 时间内添加/删除间隔
• 范围树- 可以在 O(logn) 时间内添加/删除新点（参见此处）
• 二进制索引树- 每个索引的项目数可以在 O(logn) 时间内增加

更高维度（d>1）：

• Segment tree - O(n(logn)^d) 预处理时间，O(k+(logn)^d) 查询时间，O(n(logn)^(d-1)) 空间
• 区间树- O(n logn) 预处理时间，O(k+(logn)^d) 查询时间，O(n logn) 空间
• 范围树- O(n(logn)^d) 预处理时间，O(k+(logn)^d) 查询时间，O(n(logn)^(d-1))) 空间
• 二叉索引树- O(n(logn)^d) 预处理时间，O((logn)^d) 查询时间，O(n(logn)^d) 空间

Answer 2

并不是说我可以在Lior 的回答中添加任何内容，但似乎可以用一张好桌子来做。

一维

k是报告结果的数量

手术	分割	间隔	范围	索引
预处理	登录	登录	登录	登录
询问	k+logn	k+logn	k+logn	登录
空间	登录	n	n	n
插入/删除	登录	登录	登录	登录

更高维度

d > 1

手术	分割	间隔	范围	索引
预处理	n(logn)^d	登录	n(logn)^d	n(logn)^d
询问	k+(logn)^d	k+(logn)^d	k+(logn)^d	(登录)^d
空间	n(logn)^(d-1)	登录	n(logn)^(d-1))	n(logn)^d

Answer 3

可以改进段树和二叉索引树的预处理和空间界限：

• 段树可以存储在2n空间中，然后2n = O(n)使用动态编程构建，如果您放弃在任意点添加间隔：https ://cp-algorithms.com/data_structures/segment_tree.html#toc-tgt-6
• BIT 可以内置n，请参阅此答案：Is it possible to build a Fenwick tree in O(n)?
• BIT 还支持追加到结尾作为O(log(n))时间操作