rank - 如何计算秩亏矩形矩阵的标准正交基

Question

我正在做一个需要计算矩形矩阵的正交基的项目，这个矩阵可能会或可能不会缺秩。在matlab中，我们可以只调用基于svd的函数orth()来处理这个问题，但是我需要在C中实现它。我尝试使用Gram-Schmidt，它在矩阵是满秩的时候效果很好。C中有没有可以解决这个问题的库？或者在 C 中实现它的一些提示？非常感谢。

Answer 1

当矩阵秩亏 k 时（例如，如果 4x3 矩阵的秩为 2，则 k=1），则需要生成 k 个随机向量，然后减去之前由 Gram- 生成的其他正交归一化向量的分量随机向量中的施密特。

有必要自己生成向量，如下例所示：

一个 2x2 矩阵

1 1
0 0

通过 Gram-Schmidt，你会得到

1 0
0 0

这是因为原始列空间只包含一个方向。当您检测到这种情况时（norm(v2) < eps，其中eps是一个足够小的浮点数，如 1e-10），为第二个向量生成一个随机向量v2，比如说

1  0.2
0 -0.3

减去的分量v1

1  0
0 -0.3

并将电流归一化v2

1  0
0  1

通过这种方式，您可以构建原始列空间中不存在的方向。

请注意，如果您关心计算速度，此时或在您的生产代码中，应尽可能避免使用 SVD。尽管 SVD 和矩阵-矩阵乘积都是 O(N^3) 复杂度，但 SVD 通常比矩阵-矩阵乘积慢 10 倍以上。事实上，在这样的问题中，SVD 对你的调查很有用，但更好的工具应该是 QR 分解，它本质上是 Gram-Schidt，但操作顺序不同，以获得更好的数值稳定性。

Answer 2

试试LAPACK库。它有 svd 例程（和许多其他例程）。