optimization - 按位运算是否分布在加法上？

Question

我正在研究一种我正在尝试优化的算法，它基本上有很多小技巧，然后在严格的反馈中添加了一些内容。如果我可以对加法器使用进位保存加法，它真的会帮助我加快速度，但我不确定我是否可以通过加法分配操作。

具体来说，如果我代表：

  a = sa+ca  (state + carry)
  b = sb+cb

我可以用 s 和 c 来表示 (a >>> r) 吗？怎么样| b和a&b？

Answer 1

想一想...

sa = 1    ca = 1
sb = 1    cb = 1
a = sa + ca = 2
b = sb + cb = 2
(a | b) = 2
(a & b) = 2
(sa | sb) + (ca | cb) = (1 | 1) + (1 | 1) = 1 + 1 = 2 # Coincidence?
(sa & sb) + (ca & cb) = (1 & 1) + (1 & 1) = 1 + 1 = 2 # Coincidence?

让我们尝试一些其他值：

sa = 1001   ca = 1   # Binary
sb = 0100   cb = 1
a = sa + ca = 1010
b = sb + cb = 0101
(a | b) = 1111
(a & b) = 0000
(sa | sb) + (ca | cb) = (1001 | 0101) + (1 | 1) = 1101 + 1 = 1110 # Oh dear!
(sa & sb) + (ca & cb) = (1001 & 0101) + (1 & 1) = 0001 + 1 = 2    # Oh dear!

因此，通过 4 位反例证明您不能在加法上分配 AND 或 OR。

'>>>'（无符号或逻辑右移）怎么样。使用最后一个示例值，并且 r = 1：

sa = 1001
ca = 0001
sa >>> 1 = 0101
ca >>> 1 = 0000
(sa >>> 1) + (ca >>> 1) = 0101 + 0000 = 0101
(sa + ca) >>> 1 = (1001 + 0001) >>> 1 = 1010 >>> 1 = 0101  # Coincidence?

让我们看看这是否也是巧合：

sa = 1011
ca = 0001
sa >>> 1 = 0101
ca >>> 1 = 0000
(sa >>> 1) + (ca >>> 1) = 0101 + 0000 = 0101
(sa + ca) >>> 1 = (1011 + 0001) >>> 1 = 1100 >>> 1 = 0110  # Oh dear!

再次反例证明。

所以逻辑右移也不是分配在加法上的。

Answer 2

不，您不能在二元运算符上分配 AND 或 OR。

解释

设 P 是一个命题，其中 P：(A+B)&C = A&C + B&C

让我们取 A=2,B=3 => A+B=5。

我们要证明 A&C + B&C != (A+B)&C

A=2=010

B=3=011

让 010&C = x，其中 x 是某个整数，其值是 010 和 C 的按位与的结果

类似地 011&C = y，其中 y 是某个整数，其值是 011 和 C 的按位与的结果

因为我们不能说 P 对自然数集合（{0,1,...}）中的所有 C 都成立，因此 P 为假。

在这种情况下，取 C=2=010

x=010 & 010 = 010 = 2

y=011 & 010 = 010 = 2

5&2=101 & 010 = 000 = 0

显然， x+y!=0 ，这意味着 (A+B)&C != A&C + B&C。

由此证明！