matlab - 带有循环块的块循环矩阵的对角化

Question

让A是一个带有循环块的块循环矩阵（即BCCB 矩阵）：

A = [1 2 3 4
     2 1 4 3
     3 4 1 2
     4 3 2 1]

那是：

 A = [C1 C2
      C2 C1]

其中每个块 ( C1, C2) 是一个循环矩阵。我读过（见这里）BCCB 可以通过遵循以下等式进行对角化：其中是 2-D 离散傅里叶变换矩阵，是的共轭，并且是对角矩阵，其条目是的特征值。A =F^*·D·FFF^*FDA

在 MATLAB 中，我使用以下代码：

(conj(dftmtx(4))/16*(fft2(A))*dftmtx(4))

但结果是：

这里的第二列和第四列A是交换的。错误在哪里？

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你的消息来源有点误导。用 DFT 对 BCCB 矩阵进行对角化的过程如下：

A = (F_M⊗F_N)^*D(F_M⊗F_N)

其中 F _N是 N 点 DFT 矩阵，M 是 C _j块的数量，N 是每个单独块的大小（在您的示例中 M=2 和 N=2）。“⊗”符号表示张量积。

还要注意（F ^*称为复共轭转置矩阵）。在 MATLAB 中，它转换为而不是. 巧合的是，DFT 矩阵是对称的，这意味着这也是正确的。F^* = conj(F)^TF'conj(F) FF^* = conj(F)

我不确定您要计算什么，但以下A是 MATLAB 中的对角化是如何完成的：

M = 2; N = 2;
FF = kron(dftmtx(M), dftmtx(N)); %// Tensor product
D = FF' * A * FF / size(A, 1);   %// ' is the conjugate transpose operator

产生：

D =
    10    0    0    0
     0   -2    0    0
     0    0   -4    0
     0    0    0    0

要仅使用 2-D FFT 操作进行对角化A，您可以这样做：

c = reshape(A(:, 1), N, []);     %// First column of each block
X = fft2(c);
D = diag(X(:));

或单线：

D = diag(reshape(fft2(reshape(A(:, 1), N, [])), [], 1));

所有这些都产生相同的对角矩阵D。

希望这可以为您澄清事情！

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