几个月来我一直试图找到这个问题的答案（用于机器学习应用程序），这似乎不是一个非常困难的问题，但我是一名软件工程师，数学从来都不是我的强项之一。
这是场景：
我有一个（可能）重量不均匀的硬币，我想弄清楚它出现正面的概率。我知道来自同一个盒子的硬币的平均概率为p，我也知道这些概率的标准差（称之为s）。
（如果除均值和标准差之外的其他硬币概率的其他摘要属性有用，我可能也可以得到它们。）
我掷硬币n次，结果正面h次。
天真的方法是概率只是h/n - 但如果 n 很小，这不太可能是准确的。
是否有一种计算有效的方法（即不涉及非常大或非常小的数字）来考虑p和s以得出更准确的概率估计，即使n很小？
如果任何答案可以使用伪代码而不是数学符号，我将不胜感激，因为我发现大多数数学符号都是难以理解的；-)
其他答案： SO 上还有其他一些类似的答案，但提供的答案并不令人满意。例如，这在计算上效率不高，因为它很快涉及到比双精度浮点数更小的数字。而这个结果是不正确的。
不幸的是，如果你不知道一些基本的数学知识，你就无法进行机器学习——这就像在编程方面向某人寻求帮助，但不想知道“变量”、“子例程”和所有那些 if-then 的东西。
更好的方法称为贝叶斯积分，但有一种更简单的近似方法，称为“最大后验”（MAP）。除了您可以放入先验分布之外，这与通常的想法非常相似。
花哨的话，但你可能会问，h/(h+t) 公式是从哪里来的？当然这很明显，但事实证明这是当你“没有先验”时得到的答案。当您添加先验时，下面的方法是更复杂的一个级别。下一个将是贝叶斯积分，但这更难，也许是不必要的。
据我了解，问题有两个方面：首先，您从硬币袋中取出一枚硬币。这枚硬币有一种叫做 theta 的“头晕”，因此它给出了翻转的头部 theta 分数。但是这枚硬币的 theta 来自主分布，我想我假设它是具有平均 P 和标准偏差 S 的高斯分布。
你接下来要做的是写下看到整个 shebang 的总非归一化概率（称为可能性），所有数据：（h 头，t 尾）
L = (theta)^h * (1-theta)^t * Gaussian(theta; P, S)。
高斯(theta; P, S) = exp( -(theta-P)^2/(2*S^2) ) / sqrt(2*Pi*S^2)
这就是“首先从高斯绘制 1 个 theta 值”然后使用该 theta 从硬币中绘制 h 个正面和 t 个反面的含义。
MAP 原理说，如果您不知道 theta，请在已知数据的情况下找到使 L 最大化的值。你用微积分做到这一点。让它变得简单的诀窍是你先取对数。定义 LL = log(L)。只要 L 最大化，LL 也会最大化。
所以 LL = h log(theta) + t log(1-theta) + -(theta-P)^2 / (2*S^2)) - 1/2 * log(2*pi*S^2)
通过微积分寻找极值，您可以找到 dLL/dtheta = 0 的 theta 值。由于对数的最后一项中没有 theta，您可以忽略它。
dLL/dtheta = 0 = (h/theta) + (P-theta)/S^2 - (t/(1-theta)) = 0。
如果你能解出这个方程的 theta，你会得到一个答案，即在给定正面数量 h 和反面数量 t 的情况下，theta 的 MAP 估计值。
如果您想要一个快速的近似值，请尝试执行牛顿方法的一步，在该方法中，您从建议的 theta 开始，在 theta = h/(h+t) 的明显（称为最大似然）估计值处。
这个“明显”的估计是从哪里来的？如果您执行上述操作，但不输入高斯先验：h/theta - t/(1-theta) = 0，您将得出 theta = h/(h+t)。
如果你的先验概率真的很小，通常情况下，而不是接近 0.5，那么在 theta 上的高斯先验可能是不合适的，因为它预测一些负概率的权重，显然是错误的。更合适的是对数θ（'对数正态分布'）的高斯先验。以相同的方式插入它并完成微积分。
您在这个问题中没有足够的信息。
盒子里有多少硬币？如果是两个，那么在某些情况下（例如，一个硬币总是正面，另一个总是反面）知道 p 和 s 会很有用。如果它超过几个，特别是如果只有一些硬币只是轻微加权，那么它就没有用了。
什么是小n？2？5? 10？100？加权硬币正面/反面出现的概率是多少？100/0、60/40、50.00001/49.99999？权重如何分配？每枚硬币都是两种可能的权重之一吗？他们遵循钟形曲线吗？等等
归结为：加权/未加权硬币之间的差异、加权硬币的分布以及盒子中硬币的数量都将决定 n 必须是多少才能让您以很高的信心解决这个问题。
您尝试做的事情的名称是伯努利试验。知道名称应该有助于找到更好的资源。
回复评论：
如果您的 p 差异那么小，您将不得不进行大量试验并且无法绕过它。
假设偏差分布均匀，p 仍然是 0.5，所有标准偏差都会告诉你，至少有一些硬币有轻微偏差。
在这种情况下，抛掷多少次将再次取决于硬币的权重。即使投掷了 500 次，你也不会有很强的信心（大约 2/3）检测到 0.51/0.49 的分裂。
您可以将p其用作估计概率的先验。这与进行伪计数平滑基本相同。即，使用
(h + c * p) / (n + c)
作为你的估计。当h和n很大时，就变成 了h / n。当h和n很小时，这只是c * p / c = p。的选择c取决于你。你可以以此为基础，s但最终你必须决定有多小太小。
一般来说，您正在寻找的是最大似然估计。Wolfram 演示项目说明了在给定抛掷样本的情况下估计硬币正面朝上的概率。
好吧，我不是数学家，但我认为简单的贝叶斯方法是直观且广泛适用的，足以在其中投入一点。上面的其他人已经建议了这一点，但也许如果你喜欢我，你会更喜欢冗长。在这个术语中，您有一组互斥假设 H 和一些数据 D，并且您想要找到给定数据的每个假设 Hi 正确的（后验）概率。如果您必须选择一个，假设您会选择具有最大后验概率的假设（如上所述的 MAP）。正如马特上面所指出的，贝叶斯方法与仅最大似然法（找到使 Pr(D|H) 最大化的 H）的区别在于，您还拥有一些关于哪些假设最有可能的先验信息，并且您希望合并这些先验。
所以你有基本概率 Pr(H|D) = Pr(D|H)*Pr(H)/Pr(D)。您可以通过为您希望测试的每个假设创建一系列离散概率 Hi 来以数值方式估计这些 Pr(H|D)，例如 [0.0,0.05, 0.1 ... 0.95, 1.0]，然后确定您的先验 Pr(H ) 对于每个 Hi——上面假设你有一个正态分布的先验，如果这是可以接受的，你可以使用平均值和 stdev 来获得每个 Pr(Hi)——或者如果你愿意，可以使用另一个分布。抛硬币时，Pr(D|H) 当然由二项式使用观察到的 n 次试验的成功次数和正在测试的特定 Hi 来确定。分母 Pr(D) 可能看起来令人生畏，但我们假设我们已经用我们的假设覆盖了所有基础，因此 Pr(D) 是 Pr(D|Hi)Pr(H) 对所有 H 的总和。
如果你想一想，这很简单，如果你再想一想，可能就不是这样了。