linear-algebra - 具有半正定矩阵的共轭梯度

Question

当 A 对称且半正定时，我正在研究共轭梯度以解决 Ax=b。

当 A 是对称且半正定的时，是 (A+λ I)，其中 λ 是正数，I 是单位矩阵，总是正定的？那么我们可以使用 (A+λ I) 代替 CG 中的 A，因为 (A+λ I) 是对称且正定的吗？

当 A 是正半定的且具有许多重复的零特征值时，A 和 (A+λ I) 都不是满秩吗？当矩阵不是满秩时，CG 的行为如何？

非常感谢！

Answer 1

如果矩阵A是半正定矩阵，则矩阵A +λ I其中 λ>0 是正定矩阵。效果是将 λ 添加到 A 的所有特征值，因此A 的任何零特征值都变为λ。所以A +λ I总是满秩的。