我有一个关于证明关系性质的问题。问题是：我将如何证明，如果 R 和 S（R 和 S 都是不同的关系）是传递的，那么 R union S 是传递的？
答案实际上是 FALSE，然后书中给出了一个反例作为解决方案。
我理解反例是如何按照书中解释的那样工作的，但我不明白的是，他们究竟是如何得出该陈述实际上是错误的结论的。
基本上我可以看到自己给出一个证明，如果对于 R 和 S 中的所有值 (x,y,z)，如果 (x,y) 在 R 中并且 (y,z) 在 R 中，则 (x, z)在 R 中，因为 R 是传递的。如果 (x,y) 在 S 中并且 (y,z) 在 S 中，则 (x,z) 在 S 中，因为 S 是传递的。由于 (x,z) 在 R 和 S 中，因此交集为真。但是为什么 R 和 S 的并集不是真的呢？
是因为证明不能以“因为 (x,z) 在 R 和 S 中，(x,z) 可以在 R 或 S 中”结束？基本上，证明不能以 OR 语句结尾？
我理解反例是如何按照书中解释的那样工作的，但我不明白的是，他们究竟是如何得出该陈述实际上是错误的结论的。
鉴于有一个（可能是有效的）反例，该陈述必须是错误的。尝试将你的证明应用于反例有助于揭示错误。
这并不是说两个传递关系的并集本身就不是传递的。确实，有一些明显的例子，例如传递关系与自身的并集或 and 的less-than并集（对于任何合理的定义less-than-or-equal-to都等于）。less-than-or-equal-to但最初的陈述断言这适用于任何两个传递关系。一个反例反驳了它。如果您可以提供该陈述的（有效）证明，您就会发现一个悖论。这通常会导致数学家重新评估系统的公理以消除悖论。在这种情况下，不存在悖论。
让和T的R并集S（为了简单起见，我们假设域等于范围，并且两者的集合相同）。你试图证明的是，如果xTy并且yTz，那么它一定是这样的xTz。作为证明大纲的一部分，您陈述以下内容：
如果 (x,y) 在 R 中并且 (y,z) 在 R 中，则 (x, z) 在 R 中，因为 R 是可传递的
这显然是正确的，因为它只是传递性的定义。正如您所指出的，它可以用来证明两个传递关系的交集的传递性。但是，既然T是union，就没有理由假设xRy; 可能仅此xSy而已。由于您无法证明前件（thatxRy和yRz），因此后件（that xRz）是无关紧要的。同样，您不能显示xSz. 如果你不能证明xRz或xSz，就没有理由相信xTz。
这暗示了一种为陈述提供反例的情况：当传递对的一半仅来自R，而另一半仅来自S。作为一个简单的、人为的示例，定义集合上的关系{1,2,3}：
R={(1,2)}
S={(2,3)}
显然，R 和 S 都是传递的（因为不存在x, y, zor xRy and yRz）xSy and ySz。另一方面，
T={(1,2),(2,3)}
不是传递的。虽然1T2(since 1R2) 和2T3(since 2S3)，但事实并非如此1T3。你的教科书可能给出了一个更自然的反例，但我觉得这很好地理解了导致断言失败的原因。