math - 高效计算 N 维叉积？

Question

根据标题，仅使用行列式定义和使用 LU 分解方法来计算 n 维叉积的最佳方法是这样做，还是你们可以建议一个更好的方法？

谢谢

编辑：为清楚起见，我的意思是http://en.wikipedia.org/wiki/Cross_product而不是笛卡尔积

编辑：使用莱布尼茨公式似乎也可能有所帮助——尽管我不知道这与 LU Decomp 相比如何。眼下。

Answer 1

从您的评论来看，您似乎正在寻找一个将n  -1 个向量作为输入并计算单个向量作为其结果的操作，该向量将与所有输入向量正交，并且可能也具有明确定义的长度。

具有定义的长度

您可以使用恒等式v  ∙ w  =det( a , b , w )表征 3 维叉积v  = a  ×<i>b 。换句话说，取输入向量的叉积然后计算与任何其他向量w的点积与将输入向量和其他向量插入矩阵并计算其行列式相同。

这个定义可以推广到任意维度。由于可以使用沿最后一列的拉普拉斯展开计算行列式的方式，该叉积的结果坐标将是您可以从输入形成的所有 ( n  -1)×( n  -1) 子行列式的值具有交替符号的向量。所以是的，莱布尼茨在理论上可能有用，尽管它几乎不适合现实世界的计算。在实践中，您很快就必须想办法在计算这些n行列式时避免重复计算。但是等待这个答案的最后一部分......</p>

只是方向

然而，大多数应用程序可以满足较弱的要求。他们不关心结果向量的长度，而只关心它的方向。在这种情况下，您需要的是( n  −1)× n矩阵的内核，您可以通过将输入向量作为行来形成。该内核的任何元素都将与输入向量正交，并且由于计算内核是一项常见任务，因此您可以在许多现有实现的基础上进行构建，例如Lapack。详细信息可能取决于您使用的语言。

结合这些

您甚至可以结合上述两种方法：计算内核的一个元素，并且对于该向量的非零条目，还计算相应的 ( n  -1)×( n  -1) 行列式，这将为您提供单个坐标使用第一种方法。然后，您可以简单地缩放矢量，使所选坐标达到计算值，并且所有其他坐标都将匹配该坐标。