math - 几何序列谜题

Question

以下问题让我困惑了几天（注：这不是家庭作业）。

存在两个和为 9 的几何数列。它们的第二项 (t2) 的值为 2。

1. 求公比 (r)
2. 找到每个元素的第一个元素 (t1)

(1) 的答案是 2/3 和 1/3，(2) 的答案分别是 3 和 6。不幸的是，我无法理解这些是如何得出的。

在处理 (1) 时，我尝试应用代数替换来求解 r，如下所示：

t2 = t1*r; since t2 = 2 we have:
t1 = 2/r

计算收敛到极限的序列的总和 (S) 的方程由下式给出：

S  = t1 / (1 - r)

因此，我尝试将 t1 的值插入 S 并按如下方式求解 r：

9 = (2/r) / (1-r)
9(1-r) = 2/r
2/9 = r(1-r)

不幸的是，从这一点上我被卡住了。我需要消除其中一个 r，但我似乎无法做到。

接下来，我想使用对序列的前 2 项 (S2) 求和的公式来求解 r：

S2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)
t1 + 2 = (t1 (1-r^2)) / (1-r)

但是扩展它我又遇到了同样的问题（不能消除一个 r）。

所以我有两个问题：

1. 导出r时我做错了什么？
2. 一旦我有了它的一个值，我如何推导出另一个？

Answer 1

2/9 = r(1-r)

不幸的是，从这一点上我被卡住了。我需要消除其中一个 r，但我似乎无法做到。

你需要学习分解！

2/9 = r(1-r)
2/9 = r - r^2
2 = 9r - 9r^2
9r^2 - 9r + 2 = 0
(3r)^2 - 3(3r) + 2 = 0

为了更容易，让 R = 3r

R^2 - 3R + 2 = 0
(R - 1)(R - 2) = 0

so 3r - 1 = 0, or 3r - 2 = 0
i.e. r = 1/3 or r = 2/3.

您的第一项是 2/(1/3) = 6，或 2/(2/3) = 3

QED！

Answer 2

2/9 = r (1 - r )

将其重写为ax ² + bx + c并使用二次公式求解：

2/9 = r - r ²
r ² - r + 2/9 = 0

使用二次公式，根为：
[-1 ± √(1 - 8/9)] / 2
= (1 ± 1/3) / 2
= 1/2 ± 1/6
= 1/3 或 2/3

编辑：哎呀，我花了太长时间弄清楚如何写加/减和平方根。:-P