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我需要找出矩阵是否是正定的。我的矩阵是 numpy 矩阵。我期待在 numpy 库中找到任何相关的方法，但没有成功。我很感激任何帮助。

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您还可以检查矩阵的所有特征值是否为正，如果是，则矩阵是正定的：

import numpy as np

def is_pos_def(x):
    return np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0)
于 2013-04-29T01:30:47.290 回答
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您可以尝试计算 Cholesky 分解 ( numpy.linalg.cholesky)。LinAlgError如果矩阵不是正定的，这将提高。

于 2013-04-28T19:17:05.100 回答
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上面的所有答案似乎都有一点混乱（至少关于这个问题）。

对于实矩阵，np.linalg.cholesky 中的正特征值和正前导项的检验仅适用于矩阵对称的情况。因此，首先需要测试矩阵是否对称，然后应用其中一种方法（正特征值或 Cholesky 分解）。

例如：

import numpy as np

#A nonsymmetric matrix
A = np.array([[9,7],[6,14]])

#check that all eigenvalues are positive:
np.all(np.linalg.eigvals(A) > 0)

#take a 'Cholesky' decomposition:
chol_A = np.linalg.cholesky(A)

矩阵 A 不是对称的，但特征值是正的，Numpy 返回一个错误的 Cholesky 分解。您可以检查：

chol_A.dot(chol_A.T)

与 A 不同。

您还可以检查上述所有 python 函数是否对“正定性”测试为阳性。如果您尝试使用 Cholesky 分解来计算逆，这可能是一个严重的问题，因为：

>np.linalg.inv(A)
array([[ 0.16666667, -0.08333333],
   [-0.07142857,  0.10714286]])

>np.linalg.inv(chol_A.T).dot(np.linalg.inv(chol_A))
array([[ 0.15555556, -0.06666667],
   [-0.06666667,  0.1       ]])

是不同的。

总之，我建议在上述任何函数中添加一行以检查矩阵是否对称，例如：

def is_pos_def(A):
    if np.array_equal(A, A.T):
        try:
            np.linalg.cholesky(A)
            return True
        except np.linalg.LinAlgError:
            return False
    else:
        return False

您可能希望将上述函数中的 np.array_equal(A, AT) 替换为 np.allclose(A, AT) 以避免由于浮点错误导致的差异。

于 2017-05-31T14:45:32.837 回答
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用一些现成的代码来说明@NPE 的答案：

import numpy as np

def is_pd(K):
    try:
        np.linalg.cholesky(K)
        return 1 
    except np.linalg.linalg.LinAlgError as err:
        if 'Matrix is not positive definite' in err.message:
            return 0
        else:
            raise
于 2017-04-14T13:15:19.827 回答
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我不知道为什么 NPE 的解决方案被低估了。这是最好的方法。我在Wkipedia上发现复杂度是立方的。

此外，据说它在数值上比 Lu 分解更稳定。并且 Lu 分解比寻找所有特征值的方法更稳定。

而且，这是一个非常优雅的解决方案，因为这是事实：

矩阵具有 Cholesky 分解当且仅当它是对称正的。

那么为什么不使用数学呢？也许有些人害怕引发异常，但这也是事实，使用异常进行编程非常有用。

于 2015-05-12T14:59:23.987 回答
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如果您特别想要对称（厄米特，如果复杂）正半定矩阵，则可以使用以下方法。如果您不关心对称性（厄米特，如果复杂），请删除检查它的“if”状态。如果您想要正定而不是正半定而不是删除正则化行（并将传递给 'np.lingalg.cholesky()' 的值从 'regularized_X' 更改为 'X'）。下面

import numpy as np

def is_hermitian_positive_semidefinite(X):
    if X.shape[0] != X.shape[1]: # must be a square matrix
        return False

    if not np.all( X - X.H == 0 ): # must be a symmetric or hermitian matrix
        return False

    try: # Cholesky decomposition fails for matrices that are NOT positive definite.

        # But since the matrix may be positive SEMI-definite due to rank deficiency
        # we must regularize.
        regularized_X = X + np.eye(X.shape[0]) * 1e-14

        np.linalg.cholesky(regularized_X)
    except np.linalg.LinAlgError:
        return False

    return True
于 2020-09-16T01:15:13.640 回答
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对于实矩阵 $A$，我们有 $x​​^TAx=\frac{1}{2}(x^T(A+A^T)x)$，$A+A^T$ 是对称实矩阵. 所以 $A$ 是正定的，如果 $A+A^T$ 是正定的，如果 $A+A^T$ 的所有特征值都是正的。

import numpy as np

def is_pos_def(A):
    M = np.matrix(A)
    return np.all(np.linalg.eigvals(M+M.transpose()) > 0)
于 2015-12-05T20:12:03.637 回答
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对于非对称矩阵，您可以使用 Principal Minor Test ：

这是我们在课堂上学到的示意图

def isPD(Y):
  row = X.shape [0]
  i = 0
  j = 0
  for i in range(row+1) : 
    Step = Y[:i,:j]
    j+=1
    i+=1
    det = np.linalg.det(Step)
    if det > 0 : 
        continue 
    else :
        return ("Not Positive Definite, Test Principal minor failed")

  return ("Positive Definite")
于 2020-12-01T14:56:10.130 回答
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正定

numpy.linalg.cholesky(x) # just handle the error LinAlgError

正半定

np.all(np.linalg.eigvals(x) >= 0)

np.all(np.linalg.eigvals(x) > 0)注意：如果你的矩阵是PSD即使你看到的>，大多数情况也会给你>=，我几天前就遇到了这个问题。我认为这应该与舍入误差有关，因为我们的特征值非常小，甚至 Cholesky 分解也可能会产生错误。

笔记

为了测试，您可能需要创建一些正半定矩阵和一些正定矩阵：

n_size=4
a = np.random.rand(n_size)
A_PSD = np.outer(a,a)  # the outer product of any vector generates a PSD matrix
A_PD = A_PSD+np.identity(n_size) # little trick I found for PS matrix
于 2021-02-16T08:33:29.383 回答