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我有一个包含 100001 个变量（x1 到 x100000 和 alpha）的方程组，以及那么多方程。在 Matlab 或其他方面，是否有一种计算有效的方法来求解这个方程组。我知道 solve() 命令，但我想知道是否有一些运行得更快的东西。方程的形式为：

1.)      -x1 + alpha * (x4 + x872 + x9932) = 0
         .
         .
         .
100000.) -x100000 + alpha * (x38772 + x95) = 0

换句话说，第 i^th 方程有变量 xi，系数 -1 添加到 alpha *（一些其他变量的总和）等于 0。最终方程就是 x1 + ... + x100000 = 1。

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数学部分

这个系统可能总是被带到 eigen[value/vector] 方程的规范形式：

**A***x* = λ x

其中A是系统的矩阵，x = [ x1 ; x2 ; ...; x100000 ]。以这个问题为例，系统可以写成：

/               \   /    \             /    \
| 0  1  0  0  0 |   | x1 |             | x1 |
| 0  0  1  0  1 |   | x2 |             | x2 |
| 1  0  0  0  0 | x | x3 | = (1/alpha) | x3 |
| 0  0  1  0  0 |   | x4 |             | x4 |
| 0  1  0  1  0 |   | x5 |             | x5 |
\               /   \    /             \    /

这意味着您的特征值 λ = 1/α。当然，您应该注意复杂的特征值（除非您真的想考虑它们）。

Matlab部分

嗯，这很符合你的品味和技能。您总是可以找到矩阵的特征值eig()。最好使用稀疏矩阵（内存经济）：

N = 100000;
A = sparse(N,N);
% Here's your code to set A's values
A_lambda = eig(A);

ieps= 0e-6;   % below this threshold imaginary part is considered null
alpha = real(1 ./ (A_lambda(arrayfun(@(x) imag(x)<ieps, A_lambda)))); % Chose Real. Choose Life. Choose a job. Choose a career. Choose a family. Choose a f****** big television, choose washing machines, cars, compact disc players and electrical tin openers. Choose good health, low cholesterol, and dental insurance. Choose fixed interest mortgage repayments. Choose a starter home. Choose your friends. Choose leisurewear and matching luggage. Choose a three-piece suit on hire purchase in a range of f****** fabrics. Choose DIY and wondering who the f*** you are on a Sunday morning. Choose sitting on that couch watching mind-numbing, spirit-crushing game shows, stuffing f****** junk food into your mouth. Choose rotting away at the end of it all, pissing your last in a miserable home, nothing more than an embarrassment to the selfish, f***** up brats you spawned to replace yourself. Chose life.

% Now do your stuff with alpha here

但是，请注意：数值求解大型特征值方程可能会为您提供预期实数的复杂值。ieps如果您一开始没有发现任何东西，请调整您的合理价值观。

要找到特征向量，只需从系统中取出一个，然后通过克莱默规则求解其余的。如果您愿意，可以将它们规范为一个。

于 2013-04-27T20:51:19.133 回答