你如何编写自己的函数来找到最准确的整数平方根？
谷歌搜索后，我找到了这个（从它的原始链接存档），但首先，我没有完全得到它，其次，它也是近似的。
假设平方根为最接近的整数（到实际根）或浮点数。
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下面计算 N > 0 的 floor(sqrt(N))：
x = 2^ceil(numbits(N)/2)
loop:
y = floor((x + floor(N/x))/2)
if y >= x
return x
x = y
这是 Crandall 和 Pomerance，“素数：计算视角”中给出的牛顿方法的一个版本。你应该使用这个版本的原因是知道他们在做什么的人已经证明它精确地收敛到平方根的底，而且它很简单，所以实现错误的可能性很小。它也很快（尽管可以构建一个更快的算法——但正确地做到这一点要复杂得多）。对于非常小的 N，正确实现的二进制搜索可以更快，但您也可以使用查找表。
要四舍五入到最接近的整数，只需使用上述算法计算 t = floor(sqrt(4N))。如果设置了t的最低有效位，则选择x = (t+1)/2；否则选择 t/2。请注意，这是平局。您还可以通过查看余数是否非零（即是否 t^2 == 4N）来向下舍入（或舍入到偶数）。
请注意，您不需要使用浮点运算。事实上，你不应该。这个算法应该完全使用整数来实现（特别是 floor() 函数只是表明应该使用常规整数除法）。
于 2009-10-26T12:49:38.593 回答
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根据您的需要，可以使用简单的分治策略。它不会像其他一些方法那样快速收敛，但对于新手来说可能更容易理解。此外，由于它是 O(log n) 算法（每次迭代将搜索空间减半），32 位浮点数的最坏情况将是 32 次迭代。
假设您想要 62.104 的平方根。你选择一个介于 0 和那个之间的值，然后取平方。如果正方形高于您的数字，您需要专注于小于中点的数字。如果它太低，请专注于那些更高的。
使用真正的数学，您可以永远将搜索空间一分为二（如果它没有有理平方根）。实际上，计算机最终会耗尽精度，而您将获得近似值。下面的 C 程序说明了这一点：
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main (int argc, char *argv[]) {
float val, low, high, mid, oldmid, midsqr;
int step = 0;
// Get argument, force to non-negative.
if (argc < 2) {
printf ("Usage: sqrt <number>\n");
return 1;
}
val = fabs (atof (argv[1]));
// Set initial bounds and print heading.
low = 0;
high = mid = val;
oldmid = -1;
printf ("%4s %10s %10s %10s %10s %10s %s\n",
"Step", "Number", "Low", "High", "Mid", "Square", "Result");
// Keep going until accurate enough.
while (fabs(oldmid - mid) >= 0.00001) {
oldmid = mid;
// Get midpoint and see if we need lower or higher.
mid = (high + low) / 2;
midsqr = mid * mid;
printf ("%4d %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f %10.4f ",
++step, val, low, high, mid, midsqr);
if (mid * mid > val) {
high = mid;
printf ("- too high\n");
} else {
low = mid;
printf ("- too low\n");
}
}
// Desired accuracy reached, print it.
printf ("sqrt(%.4f) = %.4f\n", val, mid);
return 0;
}
这里有几个运行，希望你能了解它是如何工作的。对于 77：
pax> sqrt 77
Step Number Low High Mid Square Result
1 77.0000 0.0000 77.0000 38.5000 1482.2500 - too high
2 77.0000 0.0000 38.5000 19.2500 370.5625 - too high
3 77.0000 0.0000 19.2500 9.6250 92.6406 - too high
4 77.0000 0.0000 9.6250 4.8125 23.1602 - too low
5 77.0000 4.8125 9.6250 7.2188 52.1104 - too low
6 77.0000 7.2188 9.6250 8.4219 70.9280 - too low
7 77.0000 8.4219 9.6250 9.0234 81.4224 - too high
8 77.0000 8.4219 9.0234 8.7227 76.0847 - too low
9 77.0000 8.7227 9.0234 8.8730 78.7310 - too high
10 77.0000 8.7227 8.8730 8.7979 77.4022 - too high
11 77.0000 8.7227 8.7979 8.7603 76.7421 - too low
12 77.0000 8.7603 8.7979 8.7791 77.0718 - too high
13 77.0000 8.7603 8.7791 8.7697 76.9068 - too low
14 77.0000 8.7697 8.7791 8.7744 76.9893 - too low
15 77.0000 8.7744 8.7791 8.7767 77.0305 - too high
16 77.0000 8.7744 8.7767 8.7755 77.0099 - too high
17 77.0000 8.7744 8.7755 8.7749 76.9996 - too low
18 77.0000 8.7749 8.7755 8.7752 77.0047 - too high
19 77.0000 8.7749 8.7752 8.7751 77.0022 - too high
20 77.0000 8.7749 8.7751 8.7750 77.0009 - too high
21 77.0000 8.7749 8.7750 8.7750 77.0002 - too high
22 77.0000 8.7749 8.7750 8.7750 76.9999 - too low
23 77.0000 8.7750 8.7750 8.7750 77.0000 - too low
sqrt(77.0000) = 8.7750
对于 62.104：
pax> sqrt 62.104
Step Number Low High Mid Square Result
1 62.1040 0.0000 62.1040 31.0520 964.2267 - too high
2 62.1040 0.0000 31.0520 15.5260 241.0567 - too high
3 62.1040 0.0000 15.5260 7.7630 60.2642 - too low
4 62.1040 7.7630 15.5260 11.6445 135.5944 - too high
5 62.1040 7.7630 11.6445 9.7037 94.1628 - too high
6 62.1040 7.7630 9.7037 8.7334 76.2718 - too high
7 62.1040 7.7630 8.7334 8.2482 68.0326 - too high
8 62.1040 7.7630 8.2482 8.0056 64.0895 - too high
9 62.1040 7.7630 8.0056 7.8843 62.1621 - too high
10 62.1040 7.7630 7.8843 7.8236 61.2095 - too low
11 62.1040 7.8236 7.8843 7.8540 61.6849 - too low
12 62.1040 7.8540 7.8843 7.8691 61.9233 - too low
13 62.1040 7.8691 7.8843 7.8767 62.0426 - too low
14 62.1040 7.8767 7.8843 7.8805 62.1024 - too low
15 62.1040 7.8805 7.8843 7.8824 62.1323 - too high
16 62.1040 7.8805 7.8824 7.8815 62.1173 - too high
17 62.1040 7.8805 7.8815 7.8810 62.1098 - too high
18 62.1040 7.8805 7.8810 7.8807 62.1061 - too high
19 62.1040 7.8805 7.8807 7.8806 62.1042 - too high
20 62.1040 7.8805 7.8806 7.8806 62.1033 - too low
21 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1038 - too low
22 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1040 - too high
23 62.1040 7.8806 7.8806 7.8806 62.1039 - too high
sqrt(62.1040) = 7.8806
对于 49：
pax> sqrt 49
Step Number Low High Mid Square Result
1 49.0000 0.0000 49.0000 24.5000 600.2500 - too high
2 49.0000 0.0000 24.5000 12.2500 150.0625 - too high
3 49.0000 0.0000 12.2500 6.1250 37.5156 - too low
4 49.0000 6.1250 12.2500 9.1875 84.4102 - too high
5 49.0000 6.1250 9.1875 7.6562 58.6182 - too high
6 49.0000 6.1250 7.6562 6.8906 47.4807 - too low
7 49.0000 6.8906 7.6562 7.2734 52.9029 - too high
8 49.0000 6.8906 7.2734 7.0820 50.1552 - too high
9 49.0000 6.8906 7.0820 6.9863 48.8088 - too low
10 49.0000 6.9863 7.0820 7.0342 49.4797 - too high
11 49.0000 6.9863 7.0342 7.0103 49.1437 - too high
12 49.0000 6.9863 7.0103 6.9983 48.9761 - too low
13 49.0000 6.9983 7.0103 7.0043 49.0598 - too high
14 49.0000 6.9983 7.0043 7.0013 49.0179 - too high
15 49.0000 6.9983 7.0013 6.9998 48.9970 - too low
16 49.0000 6.9998 7.0013 7.0005 49.0075 - too high
17 49.0000 6.9998 7.0005 7.0002 49.0022 - too high
18 49.0000 6.9998 7.0002 7.0000 48.9996 - too low
19 49.0000 7.0000 7.0002 7.0001 49.0009 - too high
20 49.0000 7.0000 7.0001 7.0000 49.0003 - too high
21 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0000 - too low
22 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0001 - too high
23 49.0000 7.0000 7.0000 7.0000 49.0000 - too high
sqrt(49.0000) = 7.0000
于 2009-10-26T07:34:27.323 回答
17
一种计算 X 平方根的简单（但不是很快）方法：
squareroot(x)
if x<0 then Error
a = 1
b = x
while (abs(a-b)>ErrorMargin)
a = (a+b)/2
b = x/a
endwhile
return a;
示例：平方根（70000）
a b
1 70000
35001 2
17502 4
8753 8
4381 16
2199 32
1116 63
590 119
355 197
276 254
265 264
如您所见，它为平方根定义了上下边界，并缩小了边界，直到其大小可以接受。
有更有效的方法，但这个方法说明了这个过程并且很容易理解。
如果使用整数，请注意将 Errormargin 设置为 1，否则会出现无限循环。
于 2009-10-26T07:09:15.940 回答
14
让我指出一个非常有趣的计算平方根 1/sqrt(x) 的方法，它是游戏设计界的传奇，因为它的速度快得令人难以置信。或者等等，阅读以下帖子：
http://betterexplained.com/articles/understanding-quakes-fast-inverse-square-root/
PS：我知道你只想要平方根，但地震的优雅克服了我的所有阻力 :)
顺便说一句，上面提到的文章还在某处谈到了无聊的 Newton-Raphson 近似。
于 2009-10-26T06:52:46.533 回答
9
当然是近似的；这就是浮点数数学的工作原理。
无论如何，标准方法是使用牛顿法。这与使用泰勒级数大致相同，这是立即想到的另一种方式。
于 2009-10-26T06:40:50.957 回答
8
在 Python 中以任意精度计算平方根
#!/usr/bin/env python
import decimal
def sqrt(n):
assert n > 0
with decimal.localcontext() as ctx:
ctx.prec += 2 # increase precision to minimize round off error
x, prior = decimal.Decimal(n), None
while x != prior:
prior = x
x = (x + n/x) / 2 # quadratic convergence
return +x # round in a global context
decimal.getcontext().prec = 80 # desirable precision
r = sqrt(12345)
print r
print r == decimal.Decimal(12345).sqrt()
输出：
111.10805551354051124500443874307524148991137745969772997648567316178259031751676
True
于 2009-10-26T08:35:12.703 回答
7
这是 Facebook 等常见的面试问题。我认为在面试中使用牛顿方法不是一个好主意。如果面试官问你牛顿法的机理，你不是很懂怎么办？
我在Java中提供了一个基于二分搜索的解决方案，相信每个人都能理解。
public int sqrt(int x) {
if(x < 0) return -1;
if(x == 0 || x == 1) return x;
int lowerbound = 1;
int upperbound = x;
int root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;
while(root > x/root || root+1 <= x/(root+1)){
if(root > x/root){
upperbound = root;
} else {
lowerbound = root;
}
root = lowerbound + (upperbound - lowerbound)/2;
}
return root;
}
你可以在这里测试我的代码：leetcode: sqrt(x)
于 2013-02-23T23:42:56.090 回答
6
找到一篇关于整数平方根的好文章。
这是一个稍微改进的版本，它在那里展示：
unsigned long sqrt(unsigned long a){
int i;
unsigned long rem = 0;
unsigned long root = 0;
for (i = 0; i < 16; i++){
root <<= 1;
rem = (rem << 2) | (a >> 30);
a <<= 2;
if(root < rem){
root++;
rem -= root;
root++;
}
}
return root >> 1;
}
于 2009-10-26T13:00:12.510 回答
4
我在学校学习了一种算法，您可以使用它来计算精确的平方根（如果根是无理数，则可以使用任意大的精度）。它肯定比牛顿的算法慢，但它是准确的。假设您要计算 531.3025 的平方根
首先，您将从小数点开始的数字分成 2 位数字组：
{5}{31}。{30}{25}
然后：
1) 为第一组找到最接近的平方根，它小于或等于第一组的实际平方根：sqrt({5}) >= 2。这个平方根是你最终答案的第一位。让我们将我们已经找到的最终平方根的数字表示为 B。所以此时 B = 2。2
）接下来计算 {5} 和 B^2 之间的差：5 - 4 = 1。3
）对于所有后续2 位组执行以下操作：
将余数乘以 100，然后将其添加到第二组：100 + 31 = 131。
找到 X - 根的下一个数字，例如 131 >=((B*20) + X)*X。X = 3. 43 * 3 = 129 < 131。现在 B = 23。此外，由于小数点左侧没有更多的 2 位组，因此您找到了最终根的所有整数位。
4) 对 {30} 和 {25} 重复相同的操作。所以你有：
{30} : 131 - 129 = 2. 2 * 100 + 30 = 230 >= (23*2*10 + X) * X -> X = 0 -> B = 23.0
{25} : 230 - 0 = 230. 230 * 100 + 25 = 23025. 23025 >= (230 * 2 * 10 + X) * X -> X = 5 -> B = 23.05
最终结果 = 23.05。
这种算法看起来很复杂，但如果你在纸上使用你在学校学习过的用于“长除法”的相同符号来做它会简单得多，除了你不做除法而是计算平方根。
于 2013-01-10T18:55:27.470 回答
4
这是一种使用三角法获得平方根的方法。它不是最快的算法，但它很精确。代码在javascript中：
var n = 5; //number to get the square root of
var icr = ((n+1)/2); //intersecting circle radius
var sqrt = Math.cos(Math.asin((icr-1)/icr))*icr; //square root of n
alert(sqrt);
于 2013-07-01T17:57:40.220 回答
3
我首先想到的是：这是一个使用二分搜索的好地方（灵感来自这个伟大的教程。）
为了找到 的平方根vaule，我们第一次搜索预测变量为真的位置。我们选择的预测器是。number(1..value)number * number - value > 0.00001
double square_root_of(double value)
{
assert(value >= 1);
double lo = 1.0;
double hi = value;
while( hi - lo > 0.00001)
{
double mid = lo + (hi - lo) / 2 ;
std::cout << lo << "," << hi << "," << mid << std::endl;
if( mid * mid - value > 0.00001) //this is the predictors we are using
{
hi = mid;
} else {
lo = mid;
}
}
return lo;
}
于 2009-10-26T07:43:25.387 回答
3
// Fastest way I found, an (extreme) C# unrolled version of:
// http://www.hackersdelight.org/hdcodetxt/isqrt.c.txt (isqrt4)
// It's quite a lot of code, basically a binary search (the "if" statements)
// followed by an unrolled loop (the labels).
// Most important: it's fast, twice as fast as "Math.Sqrt".
// On my pc: Math.Sqrt ~35 ns, sqrt <16 ns (mean <14 ns)
private static uint sqrt(uint x)
{
uint y, z;
if (x < 1u << 16)
{
if (x < 1u << 08)
{
if (x < 1u << 04) return x < 1u << 02 ? x + 3u >> 2 : x + 15u >> 3;
else
{
if (x < 1u << 06)
{ y = 1u << 03; x -= 1u << 04; if (x >= 5u << 02) { x -= 5u << 02; y |= 1u << 02; } goto L0; }
else
{ y = 1u << 05; x -= 1u << 06; if (x >= 5u << 04) { x -= 5u << 04; y |= 1u << 04; } goto L1; }
}
}
else // slower (on my pc): .... y = 3u << 04; } goto L1; }
{
if (x < 1u << 12)
{
if (x < 1u << 10)
{ y = 1u << 07; x -= 1u << 08; if (x >= 5u << 06) { x -= 5u << 06; y |= 1u << 06; } goto L2; }
else
{ y = 1u << 09; x -= 1u << 10; if (x >= 5u << 08) { x -= 5u << 08; y |= 1u << 08; } goto L3; }
}
else
{
if (x < 1u << 14)
{ y = 1u << 11; x -= 1u << 12; if (x >= 5u << 10) { x -= 5u << 10; y |= 1u << 10; } goto L4; }
else
{ y = 1u << 13; x -= 1u << 14; if (x >= 5u << 12) { x -= 5u << 12; y |= 1u << 12; } goto L5; }
}
}
}
else
{
if (x < 1u << 24)
{
if (x < 1u << 20)
{
if (x < 1u << 18)
{ y = 1u << 15; x -= 1u << 16; if (x >= 5u << 14) { x -= 5u << 14; y |= 1u << 14; } goto L6; }
else
{ y = 1u << 17; x -= 1u << 18; if (x >= 5u << 16) { x -= 5u << 16; y |= 1u << 16; } goto L7; }
}
else
{
if (x < 1u << 22)
{ y = 1u << 19; x -= 1u << 20; if (x >= 5u << 18) { x -= 5u << 18; y |= 1u << 18; } goto L8; }
else
{ y = 1u << 21; x -= 1u << 22; if (x >= 5u << 20) { x -= 5u << 20; y |= 1u << 20; } goto L9; }
}
}
else
{
if (x < 1u << 28)
{
if (x < 1u << 26)
{ y = 1u << 23; x -= 1u << 24; if (x >= 5u << 22) { x -= 5u << 22; y |= 1u << 22; } goto La; }
else
{ y = 1u << 25; x -= 1u << 26; if (x >= 5u << 24) { x -= 5u << 24; y |= 1u << 24; } goto Lb; }
}
else
{
if (x < 1u << 30)
{ y = 1u << 27; x -= 1u << 28; if (x >= 5u << 26) { x -= 5u << 26; y |= 1u << 26; } goto Lc; }
else
{ y = 1u << 29; x -= 1u << 30; if (x >= 5u << 28) { x -= 5u << 28; y |= 1u << 28; } }
}
}
}
z = y | 1u << 26; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 26; }
Lc: z = y | 1u << 24; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 24; }
Lb: z = y | 1u << 22; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 22; }
La: z = y | 1u << 20; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 20; }
L9: z = y | 1u << 18; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 18; }
L8: z = y | 1u << 16; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 16; }
L7: z = y | 1u << 14; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 14; }
L6: z = y | 1u << 12; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 12; }
L5: z = y | 1u << 10; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 10; }
L4: z = y | 1u << 08; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 08; }
L3: z = y | 1u << 06; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 06; }
L2: z = y | 1u << 04; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 04; }
L1: z = y | 1u << 02; y /= 2; if (x >= z) { x -= z; y |= 1u << 02; }
L0: return x > y ? y / 2 | 1u : y / 2;
}
于 2013-09-24T13:22:13.570 回答
3
使用二分查找
public class FindSqrt {
public static void main(String[] strings) {
int num = 10000;
System.out.println(sqrt(num, 0, num));
}
private static int sqrt(int num, int min, int max) {
int middle = (min + max) / 2;
int x = middle * middle;
if (x == num) {
return middle;
} else if (x < num) {
return sqrt(num, middle, max);
} else {
return sqrt(num, min, middle);
}
}
}
于 2016-06-14T13:25:18.530 回答
1
一般来说，整数的平方根（例如 2）只能近似（不是因为浮点运算的问题，而是因为它们是无法精确计算的无理数）。
当然，有些近似值比其他近似值更好。我的意思是，当然，值 1.732 比 1.7 更接近 3 的平方根
您提供的该链接上的代码使用的方法通过采用第一个近似值并使用它来计算更好的近似值来工作。
这称为牛顿法，您可以使用每个新的近似值重复计算，直到它对您来说足够准确。
事实上，必须有某种方法来决定何时停止重复，否则它将永远运行。
通常，当近似值之间的差异小于您决定的值时，您会停止。
编辑：我认为没有比您已经找到的两个更简单的实现了。
于 2009-10-26T06:47:34.767 回答
1
反过来，顾名思义，但有时“足够接近”就是“足够接近”；无论如何，读起来很有趣。
于 2009-11-01T21:26:19.567 回答
0
一个简单的解决方案，可以使用二进制搜索处理浮点平方根和任意精度
用红宝石编码
include Math
def sqroot_precision num, precision
upper = num
lower = 0
middle = (upper + lower)/2.0
while true do
diff = middle**2 - num
return middle if diff.abs <= precision
if diff > 0
upper = middle
else diff < 0
lower = middle
end
middle = (upper + lower)/2.0
end
end
puts sqroot_precision 232.3, 0.0000000001
于 2014-03-27T06:42:52.507 回答
0
假设我们试图找到 2 的平方根，而您的估计值为 1.5。我们会说 a = 2，x = 1.5。为了计算出更好的估计，我们将 a 除以 x。这给出了一个新值 y = 1.333333。但是，我们不能只将此作为我们的下一个估计（为什么不呢？）。我们需要用之前的估计来平均它。所以我们的下一个估计，xx 将是 (x + y) / 2，或 1.416666。
Double squareRoot(Double a, Double epsilon) {
Double x = 0d;
Double y = a;
Double xx = 0d;
// Make sure both x and y != 0.
while ((x != 0d || y != 0d) && y - x > epsilon) {
xx = (x + y) / 2;
if (xx * xx >= a) {
y = xx;
} else {
x = xx;
}
}
return xx;
}
Epsilon 确定近似值需要多准确。该函数应返回它获得的满足 abs(x*x - a) < epsilon 的第一个近似值 x，其中 abs(x) 是 x 的绝对值。
square_root(2, 1e-6)
Output: 1.4142141342163086
于 2015-04-10T00:24:02.560 回答
0
好吧，已经有很多答案了，但这是我的最简单的一段代码（对我来说），这是它的算法。
和python 2.7中的代码：
from __future__ import division
val = 81
x = 10
def sqr(data,x):
temp = x - ( (x**2 - data)/(2*x))
if temp == x:
print temp
return
else:
x = temp
return sqr(data,x)
#x =temp
#sqr(data,x)
sqr(val,x)
于 2016-08-11T15:34:17.967 回答
-5
借助内置函数计算数字的平方根
# include"iostream.h"
# include"conio.h"
# include"math.h"
void main()
{
clrscr();
float x;
cout<<"Enter the Number";
cin>>x;
float squreroot(float);
float z=squareroot(x);
cout<<z;
float squareroot(int x)
{
float s;
s = pow(x,.5)
return(s);
}
于 2013-10-25T03:51:03.103 回答