python - 在 Python 中优化微分方程中的常数

Question

好的，那么我将如何编写代码来优化微分方程中的常数 a 和 b，例如 dy/dt = a*y^2 + b，使用curve_fit？我将使用 odeint 来求解 ODE，然后使用 curve_fit 来优化 a 和 b。如果您能就这种情况提供意见，我将不胜感激！

Answer 1

使用 Sympy 查看 ODE可能会为您提供更好的服务。Scipy/Numpy 基本上是数值包，并没有真正设置为进行代数/符号运算。

Answer 2

你绝对可以这样做：

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
from scipy.optimize import curve_fit

def f(y, t, a, b):
    return a*y**2 + b

def y(t, a, b, y0):
    """
    Solution to the ODE y'(t) = f(t,y,a,b) with initial condition y(0) = y0
    """
    y = odeint(f, y0, t, args=(a, b))
    return y.ravel()

# Some random data to fit
data_t = np.sort(np.random.rand(200) * 10)
data_y = data_t**2 + np.random.rand(200)*10

popt, cov = curve_fit(y, data_t, data_y, [-1.2, 0.1, 0])
a_opt, b_opt, y0_opt = popt

print("a = %g" % a_opt)
print("b = %g" % b_opt)
print("y0 = %g" % y0_opt)

import matplotlib.pyplot as plt
t = np.linspace(0, 10, 2000)
plt.plot(data_t, data_y, '.',
         t, y(t, a_opt, b_opt, y0_opt), '-')
plt.gcf().set_size_inches(6, 4)
plt.savefig('out.png', dpi=96)
plt.show()

Answer 3

为了专门解决这类问题，我决定编写一个包装包，它统一了sympy和scipy. 它被称为symfit。适合您的 ODE 将如下所示：

tdata = np.array([10, 26, 44, 70, 120])
ydata = 10e-4 * np.array([44, 34, 27, 20, 14])
y, t = variables('y, t')
a, b = parameters('a, b')

model_dict = {
    D(y, t): a*y^2 + b
}

ode_model = ODEModel(model_dict, initial={t: 0.0, y: 0.0})

fit = Fit(ode_model, t=tdata, y=ydata)
fit_result = fit.execute()

从它被定义为 dict 的方式可以看出，适合（一阶）ODE 系统是没有问题的。查看文档了解更多信息！