我想找到一个未知节点的坐标，它位于空间中的某个位置，其参考距离远离 3 个或更多节点，这些节点都具有已知坐标。
但是，我不了解有关“初步和最终计算”的部分（请参阅维基百科网站）。我不知道在哪里可以找到 P1、P2 和 P3，这样我就可以把这些方程式放在哪里？
谢谢
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三边测量是寻找三个球体相交区域中心的过程。必须知道三个球体中每个球体的中心点和半径。
让我们考虑您的三个示例中心点 P1 [-1,1]、P2 [1,1] 和 P3 [-1,-1]。第一个要求是 P1' 位于原点，因此让我们通过将偏移向量 V [1,-1] 添加到所有三个点来相应地调整点：
P1' = P1 + V = [0, 0]
P2' = P2 + V = [2, 0]
P3' = P3 + V = [0,-2]
注意：调整后的点由 '（撇号）注释表示。
P2' 也必须位于 x 轴上。在这种情况下，它已经存在，因此无需调整。
我们将假设每个球体的半径为 2。
现在我们有 3 个方程（给定）和 3 个未知数（交点中心的 X、Y、Z）。
求解 P4'x：
x = (r1^2 - r2^2 + d^2) / 2d //(d,0) are coords of P2'
x = (2^2 - 2^2 + 2^2) / 2*2
x = 1
求解 P4'y：
y = (r1^2 - r3^2 + i^2 + j^2) / 2j - (i/j)x //(i,j) are coords of P3'
y = (2^2 - 2^2 + 0 + -2^2) / 2*-2 - 0
y = -1
对于 2D 问题忽略 z。
P4' = [1,-1]
现在我们通过减去偏移向量 V 转换回原始坐标空间：
P4 = P4' - V = [0,0]
正如预期的那样，解点 P4 位于原点。
文章的后半部分描述了一种表示一组点的方法，其中 P1 不在原点或 P2 不在 x 轴上，以便它们符合这些约束。我更愿意将其视为翻译，但两种方法都会产生相同的解决方案。
编辑：将 P2' 旋转到 x 轴
如果将 P1 平移到原点后 P2' 不在 x 轴上，我们必须对视图执行旋转。
首先，让我们创建一些新向量作为示例： P1 = [2,3] P2 = [3,4] P3 = [5,2]
请记住，我们必须首先将 P1 转换为原点。与往常一样，偏移矢量 V 为 -P1。在这种情况下，V = [-2,-3]
P1' = P1 + V = [2,3] + [-2,-3] = [0, 0]
P2' = P2 + V = [3,4] + [-2,-3] = [1, 1]
P3' = P3 + V = [5,2] + [-2,-3] = [3,-1]
要确定旋转角度，我们必须找到 P2' 和 [1,0]（x 轴）之间的角度。
我们可以使用点积相等：
A dot B = ||A|| ||B|| cos(theta)
当 B 为 [1,0] 时，可以简化为：A 点 B 始终只是 A 的 X 分量，||B|| （B 的大小）总是乘以 1，因此可以忽略。
我们现在有 Ax = ||A|| cos(theta)，我们可以将其重新排列为我们的最终方程：
theta = acos(Ax / ||A||)
或者在我们的例子中：
theta = acos(P2'x / ||P2'||)
我们使用 ||A|| 计算 P2' 的大小。= sqrt(Ax + Ay + Az)
||P2'|| = sqrt(1 + 1 + 0) = sqrt(2)
将其插入我们可以解决 theta
theta = acos(1 / sqrt(2)) = 45 degrees
现在让我们使用旋转矩阵将场景旋转 -45 度。由于 P2'y 为正，并且旋转矩阵逆时针旋转，我们将使用负旋转将 P2 与 x 轴对齐（如果 P2'y 为负，则不要否定 theta）。
R(theta) = [cos(theta) -sin(theta)]
[sin(theta) cos(theta)]
R(-45) = [cos(-45) -sin(-45)]
[sin(-45) cos(-45)]
我们将使用双撇号“'”来表示已经平移和旋转的向量。
P1'' = [0,0] (no need to calculate this one)
P2'' = [1 cos(-45) - 1 sin(-45)] = [sqrt(2)] = [1.414]
[1 sin(-45) + 1 cos(-45)] = [0] = [0]
P3'' = [3 cos(-45) - (-1) sin(-45)] = [sqrt(2)] = [ 1.414]
[3 sin(-45) + (-1) cos(-45)] = [-2*sqrt(2)] = [-2.828]
现在您可以使用 P1''、P2'' 和 P3'' 来求解 P4''。对 P4'' 应用反向旋转得到 P4'，然后反向平移得到 P4，你的中心点。
要撤消旋转，请将 P4'' 乘以 R(-theta)，在本例中为 R(45)。要撤消平移，请减去偏移向量 V，这与添加 P1 相同（假设您最初使用 -P1 作为 V）。
于 2013-04-23T18:39:24.693 回答
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这是我在 3D 打印机固件中使用的算法。它避免了旋转坐标系，但它可能不是最好的。
三边测量问题有两种解决方案。要获得第二个，请将二次方程解中的“- sqrtf”替换为“+ sqrtf”。
显然，如果您有足够的处理器能力和内存，您可以使用双精度数而不是浮点数。
// Primary parameters
float anchorA[3], anchorB[3], anchorC[3]; // XYZ coordinates of the anchors
// Derived parameters
float Da2, Db2, Dc2;
float Xab, Xbc, Xca;
float Yab, Ybc, Yca;
float Zab, Zbc, Zca;
float P, Q, R, P2, U, A;
...
inline float fsquare(float f) { return f * f; }
...
// Precompute the derived parameters - they don't change unless the anchor positions change.
Da2 = fsquare(anchorA[0]) + fsquare(anchorA[1]) + fsquare(anchorA[2]);
Db2 = fsquare(anchorB[0]) + fsquare(anchorB[1]) + fsquare(anchorB[2]);
Dc2 = fsquare(anchorC[0]) + fsquare(anchorC[1]) + fsquare(anchorC[2]);
Xab = anchorA[0] - anchorB[0];
Xbc = anchorB[0] - anchorC[0];
Xca = anchorC[0] - anchorA[0];
Yab = anchorA[1] - anchorB[1];
Ybc = anchorB[1] - anchorC[1];
Yca = anchorC[1] - anchorA[1];
Zab = anchorB[2] - anchorC[2];
Zbc = anchorB[2] - anchorC[2];
Zca = anchorC[2] - anchorA[2];
P = ( anchorB[0] * Yca
- anchorA[0] * anchorC[1]
+ anchorA[1] * anchorC[0]
- anchorB[1] * Xca
) * 2;
P2 = fsquare(P);
Q = ( anchorB[1] * Zca
- anchorA[1] * anchorC[2]
+ anchorA[2] * anchorC[1]
- anchorB[2] * Yca
) * 2;
R = - ( anchorB[0] * Zca
+ anchorA[0] * anchorC[2]
+ anchorA[2] * anchorC[0]
- anchorB[2] * Xca
) * 2;
U = (anchorA[2] * P2) + (anchorA[0] * Q * P) + (anchorA[1] * R * P);
A = (P2 + fsquare(Q) + fsquare(R)) * 2;
...
// Calculate Cartesian coordinates given the distances to the anchors (La, Lb and Lc)
// First calculate PQRST such that x = (Qz + S)/P, y = (Rz + T)/P.
// P, Q and R depend only on the anchor positions, so they are pre-computed
const float S = - Yab * (fsquare(Lc) - Dc2)
- Yca * (fsquare(Lb) - Db2)
- Ybc * (fsquare(La) - Da2);
const float T = - Xab * (fsquare(Lc) - Dc2)
+ Xca * (fsquare(Lb) - Db2)
+ Xbc * (fsquare(La) - Da2);
// Calculate quadratic equation coefficients
const float halfB = (S * Q) - (R * T) - U;
const float C = fsquare(S) + fsquare(T) + (anchorA[1] * T - anchorA[0] * S) * P * 2 + (Da2 - fsquare(La)) * P2;
// Solve the quadratic equation for z
float z = (- halfB - sqrtf(fsquare(halfB) - A * C))/A;
// Substitute back for X and Y
float x = (Q * z + S)/P;
float y = (R * z + T)/P;
于 2017-11-27T18:46:20.990 回答
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以下是 Wikipedia 计算，以 OpenSCAD 脚本呈现，我认为这有助于以视觉方式理解问题，并提供一种简单的方法来检查结果是否正确。脚本的示例输出
// Trilateration example
// from Wikipedia
//
// pA, pB and pC are the centres of the spheres
// If necessary the spheres must be translated
// and rotated so that:
// -- all z values are 0
// -- pA is at the origin
pA = [0,0,0];
// -- pB is on the x axis
pB = [10,0,0];
pC = [9,7,0];
// rA , rB and rC are the radii of the spheres
rA = 9;
rB = 5;
rC = 7;
if ( pA != [0,0,0]){
echo ("ERROR: pA must be at the origin");
assert(false);
}
if ( (pB[2] !=0 ) || pC[2] !=0){
echo("ERROR: all sphere centers must be in z = 0 plane");
assert(false);
}
if (pB[1] != 0){
echo("pB centre must be on the x axis");
assert(false);
}
// show the spheres
module spheres(){
translate (pA){
sphere(r= rA, $fn = rA * 10);
}
translate(pB){
sphere(r = rB, $fn = rB * 10);
}
translate(pC){
sphere (r = rC, $fn = rC * 10);
}
}
function unit_vector( v) = v / norm(v);
ex = unit_vector(pB - pA) ;
echo(ex = ex);
i = ex * ( pC - pA);
echo (i = i);
ey = unit_vector(pC - pA - i * ex);
echo (ey = ey);
d = norm(pB - pA);
echo (d = d);
j = ey * ( pC - pA);
echo (j = j);
x = (pow(rA,2) - pow(rB,2) + pow(d,2)) / (2 * d);
echo( x = x);
// size of the cube to subtract to show
// the intersection of the spheres
cube_size = [10,10,10];
if ( ((d - rA) >= rB) || ( rB >= ( d + rA)) ){
echo ("Error Y not solvable");
}else{
y = (( pow(rA,2) - pow(rC,2) + pow(i,2) + pow(j,2)) / (2 * j))
- ( i / j) * x;
echo(y = y);
zpow2 = pow(rA,2) - pow(x,2) - pow(y,2);
if ( zpow2 < 0){
echo ("z not solvable");
}else{
z = sqrt(zpow2);
echo (z = z);
// subtract a cube with one of its corners
// at the point where the sphers intersect
difference(){
spheres();
translate ([x,y - cube_size[1],z]){
cube(cube_size);
}
}
translate ([x,y - cube_size[1],z]){
%cube(cube_size);
}
}
}
于 2018-09-26T13:38:26.980 回答