r - 如何计算R中矩阵的幂

Question

我正在尝试计算以下矩阵的 -0.5 幂：

S <- matrix(c(0.088150041, 0.001017491 , 0.001017491, 0.084634294),nrow=2)

在 Matlab 中，结果为 ( S^(-0.5))：

S^(-0.5)
ans =
 3.3683   -0.0200
-0.0200    3.4376

Answer 1

> library(expm)
> solve(sqrtm(S))
            [,1]        [,2]
[1,]  3.36830328 -0.02004191
[2,] -0.02004191  3.43755429

Answer 2

一段时间后，出现了以下解决方案：

"%^%" <- function(S, power) 
   with(eigen(S), vectors %*% (values^power * t(vectors))) 
S%^%(-0.5)

结果给出了预期的答案：

              [,1]        [,2]
  [1,]  3.36830328 -0.02004191
  [2,] -0.02004191  3.43755430

Answer 3

矩阵的平方根不一定是唯一的（大多数实数至少有 2 个平方根，因此不仅仅是矩阵）。有多种算法可用于生成矩阵的平方根。其他人已经展示了使用 expm 和特征值的方法，但 Cholesky 分解是另一种可能性（参见chol函数）。

Answer 4

为了将此答案扩展到平方根之外，以下函数exp.mat()概括了矩阵的“ Moore-Penrose 伪逆”，并允许通过奇异值分解 (SVD) 计算矩阵的幂（甚至适用于非方阵，尽管我不知道什么时候需要它）。

exp.mat()功能：

#The exp.mat function performs can calculate the pseudoinverse of a matrix (EXP=-1)
#and other exponents of matrices, such as square roots (EXP=0.5) or square root of 
#its inverse (EXP=-0.5). 
#The function arguments are a matrix (MAT), an exponent (EXP), and a tolerance
#level for non-zero singular values.
exp.mat<-function(MAT, EXP, tol=NULL){
 MAT <- as.matrix(MAT)
 matdim <- dim(MAT)
 if(is.null(tol)){
  tol=min(1e-7, .Machine$double.eps*max(matdim)*max(MAT))
 }
 if(matdim[1]>=matdim[2]){ 
  svd1 <- svd(MAT)
  keep <- which(svd1$d > tol)
  res <- t(svd1$u[,keep]%*%diag(svd1$d[keep]^EXP, nrow=length(keep))%*%t(svd1$v[,keep]))
 }
 if(matdim[1]<matdim[2]){ 
  svd1 <- svd(t(MAT))
  keep <- which(svd1$d > tol)
  res <- svd1$u[,keep]%*%diag(svd1$d[keep]^EXP, nrow=length(keep))%*%t(svd1$v[,keep])
 }
 return(res)
}

例子

S <- matrix(c(0.088150041, 0.001017491 , 0.001017491, 0.084634294),nrow=2)
exp.mat(S, -0.5)
#            [,1]        [,2]
#[1,]  3.36830328 -0.02004191
#[2,] -0.02004191  3.43755429

可以在此处找到其他示例。