python - 为什么这个 While 循环会终止？

Question

x=1.0
i=1
while(1.0+x>1.0):
    x=x/2
    i=i+1
print i

后续问题，为什么 i=54 的值？

我的想法是循环不会结束，因为 (1.0+x) 的值将始终保持大于 1.0。但是在运行代码时，情况并非如此。

Answer 1

由于浮点数的不准确，总会有这样的时候， 的值x太小，Python 无法存储它的值，本质上变成了0. 到达那个阶段需要 54 次迭代（实际上是 53i次），这就是为什么是 54 次。

例如，

>>> 1e-1000
0.0

Answer 2

为什么是 54？-- 实际上是 53，因为它是在你增加它之前

>>> 2.**-54
5.551115123125783e-17

>>> 2.**-53
1.1102230246251565e-16

>>> 2.**-52
2.220446049250313e-16

>>> sys.float_info.epsilon
2.220446049250313e-16

如果你把这么小的东西加到 1，它仍然是 1。

Answer 3

在处理浮点数或浮点数时，您会遇到臭名昭著的Floating Point Epsilon：

在您的情况下，这需要 54 次迭代才能低于该阈值（因为 Python 中的默认浮点类型是单精度，而单精度的浮点 epsilon 是：

def machineEpsilon(func=float):
    machine_epsilon = func(1)
    while func(1)+func(machine_epsilon) != func(1):
        machine_epsilon_last = machine_epsilon
        machine_epsilon = func(machine_epsilon) / func(2)
    return machine_epsilon_last

因此：

In [2]: machineEpsilon(float)
Out[2]: 2.2204460492503131e-16

53 次迭代从何而来？

从代码中的这一行：

x=x/2

它将当前值分配x给x/2意味着在第 53 次迭代中，它变成了：

1.11022302463e-16

这小于浮点 epsilon。

Answer 4

正如已经指出的那样 - 这是因为floats 的准确性。如果你想克服这个“限制”，你可以使用 Python 的fractions模块，例如：

from fractions import Fraction as F

x = F(1, 1)
i=1
while(F(1, 1)+x>1.0):
    print i, x
    x = F(1, x.denominator * 2)
    i=i+1
print i

（注意：这将一直持续到被打断）