scala - 一阶逻辑的普遍存在量词

Question

我正在学习 Scala 编程课程。有一次，导师说：

函数blah和bladdy是一阶逻辑的普遍和存在量词。

有人可以将“一阶逻辑的普遍和存在量词”翻译成英文吗？

Answer 1

那句话充满了行话。您可以在此处universal找到对量词和existential逻辑量词的描述。

1. AUniversal Quantifier是适用于集合中所有元素的逻辑语句。
2. AnExistential Quantifier是适用于集合中至少一个元素的逻辑语句。

您还可以在此处first-order查看逻辑的快速描述。该术语旨在与first-order逻辑higher-order分开：

1. First-order逻辑语句是通常的语句；它们作用于集合的成员。
2. Higher-order逻辑语句作用于其他逻辑语句；将它们视为元逻辑。

Answer 2

教科书Language Proof and Logic为 Odersky 教授提到的全称量词和存在量词提供了这些英语表达方式。

全称量词∀

用于表达普遍的主张，我们用英语表达的那些用量化的短语，比如everything 、everything、all things和anything。

存在量词 ∃

用于表达存在性主张，我们用英语表达的主张使用诸如某事、至少一件事、一个和一个这样的短语。

这些术语的提及可能与使用高阶函数的集合操作相关或导致操作。forall在 Scala 中，通过集合上的andexists操作，从逻辑到代码的转换是非常自然的。这些类似于上面给出的普遍和存在的定义。一些简单的例子有助于说明这一点：

scala> val l = 1 to 10
l: scala.collection.immutable.Range.Inclusive = Range(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

scala> l.forall(x => x > 0)
res0: Boolean = true

scala> l.forall(x => x > 1)
res1: Boolean = false

这两个forall陈述只是询问这个集合的所有元素是否符合标准。

scala> l.exists(x => x < 1)
res2: Boolean = false

scala> l.exists(x => x < 2)
res3: Boolean = true

这两个exists陈述只是询问这个集合的任何元素是否符合标准。

Answer 3

要完全理解该陈述，您可能必须研究一些逻辑。但这是基本要点：

“量词”是您在逻辑语句中赋予变量含义的方式。如果我说“{something about x}”，它本身并没有太大的意义。你必须知道x它是真话还是假话。但是，如果我通过说“对于所有{关于}的事情”或“存在一个这样的{关于}的事情”来量化变量，那么我正在做出一个对或错的单一陈述。xxxxx

在“所有人x”的情况下，我是说“{something about x}”对于您可以选择的任何内容都是正确的； x这是普遍的量化。例如“对于所有x，x是偶数”是错误的陈述。

在“存在x这样一个”的情况下，我是说有一个可能的选择，x因此“{something about x}”是真的（我不是说那个选择是什么，只是有一个）。这是存在量化。x例如，“存在x一个偶数”是一个真实的陈述。

它们是对偶的，因为“对于所有x{something about x}”的含义与“存在一个x这样的事情是不真实的 {something about x}”和“存在一个x这样的事情 {something about x}”的意思与“it is NOT true that for all xit is not true that {something about x}”的含义相同。如果你仔细想想，希望这在直觉上是合理的。

如果您告诉我们函数blah和bladdy是什么，我们可以解释它们对应于全称和存在量词的方式，这可能对帮助您理解讲师的观点更有帮助。