r - 拟合微分方程：如何将一组数据拟合到 R 中的微分方程

Question

使用数据集：

conc <- data.frame(time = c(0.16, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3), concentration = c(170, 122, 74, 45, 28, 17, 10))

我想将这些数据拟合到下面的微分方程中：

dC/dt= -kC

其中 C 是数据集中的浓度和时间 t。这也将给出 k 的结果。谁能给我一个线索如何在 R 中做到这一点？谢谢。

Answer 1

首先使用变量分离来求解微分方程。这给出了 log(C)=-k*t+C0。

绘制数据：

plot(log(concentration) ~ time,data=conc)

拟合线性模型：

fit <- lm(log(concentration) ~ time,data=conc)
summary(fit)

# Coefficients:
#               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# (Intercept)   5.299355   0.009787   541.4 4.08e-13 ***
#   time       -0.992208   0.005426  -182.9 9.28e-11 ***
#   ---
#   Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
# 
# Residual standard error: 0.01388 on 5 degrees of freedom
# Multiple R-squared: 0.9999,  Adjusted R-squared: 0.9998 
# F-statistic: 3.344e+04 on 1 and 5 DF,  p-value: 9.281e-11 

绘制预测值：

lines(predict(fit)~conc$time)

提取 k：

k <- -coef(fit)[2]
#0.9922081

Answer 2

这可能是一个解决方案：

    require('deSolve')
conc <- data.frame(time <- c(0.16, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 2.5, 3), concentration <- c(170, 122, 74, 45, 28, 17, 10))

##"Model" with differential equation
model <- function(t, C, k){
  list(-k * C)
}

##Cost function with sum of squared residuals:
cost <- function(k){
  c.start <- 170
  out <- lsoda(c(C=c.start), conc$time, model, k)
  c <- sum( (conc$concentration - out[,"C"])^2)       
  c
}

##Initial value for k
k <- 3
##  Use some optimization procedure
opt <- optim(k, cost, method="Brent", lower=0, upper=10)

k.fitted <- opt$par

也许这有点天真，因为使用 lsoda 对于仅使用一个微分方程进行计算似乎有点矫枉过正......但它肯定会优化你的 k。您可能想检查集成的 C 的起始值，我在这里将其设置为 170，您没有 t=0 的值吗？