python - Python中的高斯消除有标准解决方案吗？

Question

是否存在scipy/numpy/...用于矩阵高斯消元的标准方法？

通过谷歌可以找到很多片段，但如果可能的话，我更愿意使用“受信任的”模块。

Answer 1

我终于发现，它可以使用LU 分解来完成。这里U矩阵表示线性系统的简化形式。

from numpy import array
from scipy.linalg import lu

a = array([[2.,4.,4.,4.],[1.,2.,3.,3.],[1.,2.,2.,2.],[1.,4.,3.,4.]])

pl, u = lu(a, permute_l=True)

然后u读取

array([[ 2.,  4.,  4.,  4.],
       [ 0.,  2.,  1.,  2.],
       [ 0.,  0.,  1.,  1.],
       [ 0.,  0.,  0.,  0.]])

根据系统的可解性，该矩阵具有上三角形或梯形结构。在上述情况下，出现一行零，因为矩阵只有 rank 3。

Answer 2

一个值得检查的功能是_remove_redundancy，如果您希望删除重复或冗余的方程：

import numpy as np
import scipy.optimize

a = np.array([[1.,1.,1.,1.],
              [0.,0.,0.,1.],
              [0.,0.,0.,2.],
              [0.,0.,0.,3.]])
print(scipy.optimize._remove_redundancy._remove_redundancy(a, np.zeros_like(a[:, 0]))[0])

这使：

[[1. 1. 1. 1.]
 [0. 0. 0. 3.]]

作为@flonk 答案的注释，使用 LU 分解可能并不总是给出所需的缩减行矩阵。例子：

import numpy as np
import scipy.linalg

a = np.array([[1.,1.,1.,1.],
              [0.,0.,0.,1.],
              [0.,0.,0.,2.],
              [0.,0.,0.,3.]])

_,_, u = scipy.linalg.lu(a)
print(u)

给出相同的矩阵：

[[1. 1. 1. 1.]
 [0. 0. 0. 1.]
 [0. 0. 0. 2.]
 [0. 0. 0. 3.]]

即使最后 3 行是线性相关的。

Answer 3

您可以使用符号数学python库sympy

import sympy as sp

m = sp.Matrix([[1,2,1],
           [-2,-3,1],
           [3,5,0]])

m_rref, pivots = m.rref() # Compute reduced row echelon form (rref).

print(m_rref, pivots)

这将以简化的梯队形式输出矩阵，以及枢轴列的列表

Matrix([[1, 0, -5],
        [0, 1,  3],
        [0, 0,  0]])

(0, 1)