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多线性函数是这样的，它对每个变量都是线性的。例如，x1+x2x1-x4x3 是一个多线性函数。使用它们需要适当的数据结构和算法，以实现快速分配、分解和基本算法。

Matlab 中是否存在一些用于处理多线性函数的库？

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不，没有那么多。

例如， interp2 和 interpn 具有“线性”方法，正如您所描述的那样有效。但这大约是供应的极限。这种形式没有更一般的功能。

无论如何，这类函数有一些明显的局限性。例如，当应用于彩色图像处理时，它们通常是一个非常糟糕的选择，因为它们对图像中的中性色做了什么。那里强烈优选其他功能形式。

当然，对于因式分解等操作，总是有符号工具箱，但那个工具不是速度恶魔。

编辑：（其他功能形式）

我将使用双线性形式作为示例。This is the scheme that is employed by tools like Photoshop when bilinear interpolation is chosen. 在一组四个像素之间的正方形区域内，我们有形式

f(x,y) = f_00*(1-x)*(1-y) + f_10*x*(1-y) + f_01*(1-x)*y + f_11*x*y

其中 x 和 y 在单位平方 [0,1]X[0,1] 上变化。我在这里把它写成一个函数，由正方形四个角的函数值参数化。当然，这些值在图像插值中作为这些位置的像素值给出。

如前所述，双线性插值在 x 和 y 中确实是线性的。如果您保持 x 或 y 固定，则该函数在另一个变量中是线性的。

一个有趣的问题是沿着单位正方形的对角线会发生什么？因此，当我们沿着点 (0,0) 和 (1,1) 之间的路径走时。由于 x = y 沿着这条路径，用 x 代替那个表达式中的 y，然后展开。

f(x,x) = f_00*(1-x)*(1-x) + f_10*x*(1-x) + f_01*(1-x)*x + f_11*x*x
       = (f_11 + f_00 - f_10 - f_01)*x^2 + (f_10 + f_01 - 2*f_00)*x + f_00

所以我们最终得到一个沿主对角线的二次多项式。同样，如果我们沿着另一个对角线，它的形式也是二次的。因此，尽管这种野兽具有“线性”性质，但它在任何线性路径上都不是真正的线性。它仅沿平行于插值变量轴的路径是线性的。

在三维中，这是我们真正关心颜色空间插值行为的地方，主对角线现在将沿该路径显示三次行为，尽管函数的“线性”名称。

为什么这些对角线很重要？沿对角线会发生什么？如果我们的映射将颜色从 RGB 颜色空间转移到其他空间，那么图像中的中性色沿着路径 R=G=B 存在。这是立方体的对角线。问题是，当您使用中性渐变对图像进行插值时，您会在色彩空间转换后的结果中看到一个渐变，当渐变沿着对角线通过一个又一个立方体移动时，该渐变会从中性颜色变为某种非中性颜色。可悲的是，人眼非常能够看到与中立的差异，因此这种行为至关重要。（顺便说一句，这就是彩色喷墨打印机内部发生的事情，所以人们确实关心它。）

选择的替代方法是将单位正方形分解为一对三角形，共享边沿该主对角线。线性插值现在在三角形内部工作，并且沿着该边，插值纯粹是该共享边的端点的函数。

在三个维度上，同样的事情发生了，除了我们将单位立方体分解成六个四面体，所有这些都共享立方体的主对角线。差异确实非常重要，中性梯度与中性的偏差显着减少。事实证明，眼睛对沿其他梯度的偏差没有那么敏感，因此沿其他路径的损失几乎不会造成太大伤害。至关重要的是中性色，我们必须尽可能准确地再现颜色。

因此，如果您使用通常称为 3-d 查找表定义的映射进行色彩空间插值，这是进行插值的公认方法（由 ICC 同意，国际色彩联盟的首字母缩写词。）

于 2013-03-22T12:44:49.747 回答