c - 使用预定的特征值计算 lapack 中的特征向量？

Question

我对 lapack 有一个相当不寻常的挑战，我花了几个小时寻找解决方案。

我有一个传统形式的广义特征值问题（A - x B = 0）。通常我会使用例如 ?hegvx 或 ?hegvd 来计算特征值和特征向量。

但是我现在面临的挑战是，现在我已经从问题的构造中知道了特征值，因此我需要一个有效的lapack 例程来仅计算特征向量？

有人对此有破解吗？

Answer 1

给定广义特征值问题

(A - y B) x = 0

和一个特征值 yn：

(A - y _n B) x _n = 0

我们知道 A、B 和 yn，所以我们可以形成一个新的矩阵 Cn

C _n = A - y _n B

C _n x _n = 0

您可以使用任何线性代数求解器为每个特征值单独求解。根据LAPACK docs on linear equations，对于一般矩阵，双精度，您可以使用 DGETRS

编辑退化特征值：

矩阵 Cn 的零空间是我们在这里解决的问题（正如 MvG 评论的那样）。如果

C _n j = 0 和
C _n k = 0

（即退化的 e-vals）然后给定 j ^T k = 0 （两者仍然是 AB 系统的特征向量）我们可以说

调用一行 C _n r：

rk = rk - j ^T .k = (rj ^T ).k

从而形成一个矩阵 J ，其行是每个 j ^T（必须有一个名称，但我不知道）：

(C _n - J) k = 0

定义

D _nj = C _n - J

现在求解新矩阵 D _nj。通过构造，这将是具有相同退化特征值的原始矩阵的新正交特征向量。