vhdl - 为什么 4 位加法器/减法器通过查看最后两个进位的 BOTH 来实现其溢出检测？

Question

这是我们为课堂提供的图表：

你为什么不在这张图片中使用 C4 呢？如果 C4 为 1，那么最后的加法导致溢出，这就是我们想知道的。为什么我们需要看C3？

Answer 1

溢出标志指示有符号操作的溢出条件。

在签名操作中要记住的几点：

• MSB 始终保留以指示数字的符号
• 负数用 2 的补码表示
• 溢出导致无效操作

二进制补码溢出规则：

• 如果两个正数之和产生负结果，则和溢出。
• 如果两个负数之和产生正结果，则和溢出。
• 否则，总和没有溢出。

例如：

**Ex1:**
 0111   (carry)  
  0101  ( 5)
+ 0011  ( 3)
==================
  1000  ( 8)     ;invalid (V=1) (C3=1) (C4=0)


**Ex2:**
 1011   (carry)  
  1001  (-7)
+ 1011  (−5)
==================
  0100  ( 4)     ;invalid (V=1) (C3=0) (C4=1)


**Ex3:**
 1110   (carry)  
  0111  ( 7)
+ 1110  (−2)
==================
  0101  ( 5)     ;valid (V=0) (C3=1) (C4=1)

在有符号运算中，如果最左边的两个进位位（在这些示例中位于顶行最左侧的位）均为 1 或均为 0，则结​​果有效；如果左两个进位位是“1 0”或“0 1”，则发生符号溢出。方便的是，对这两位进行异或运算可以快速确定是否存在溢出条件。（参考：二进制补码）

溢出与进位：溢出可以被认为是进位的二进制补码形式。在有符号操作中，溢出标志被监视并且进位标志被忽略。类似地，在无符号操作中，进位标志被监控​​，溢出标志被忽略。

Answer 2

当最高有效位的进位不等于进位时，会发生有符号数的溢出。

例如，使用 8 位，65 + 64 = 129 实际上会导致溢出。这是因为这是二进制的 1000 0001，也是 2 的补码的 -127。如果你通过这个例子，你可以看到这是进位不等于进位的结果。

即使进位标志为高，也可以进行正确的计算。

考虑

  1000 1000   = -120
+ 1111 1111   = -1

=(1) 10000111 = -121 

有 1 的进位，但没有溢出。

Answer 3

对于任何正的自然位数，我想给这个问题一个更一般的答案。

让我们将最后一个进位输出 C1、倒数第二个进位输出 C0、和符号输出 S0 以及 A 和 B 的符号位分别称为 A0 和 B0。

那么以下成立：

• C1 = A0 + B0 + C0
• S0 = A0*B0 + A0*C0 + B0*C0

现在让我们来看看这些可能性。

• 如果C1 == 1有两种可能：
  • if C0 == 0: A0 和 B0 必须都为 1（因此 A 和 B 都必须为负）。这意味着 S0 必须为 0 表示解决方案为正而 A 和 B 为负 => 溢出
  • 如果C0 == 1：要么
    • A en B 有相反的符号，所以不可能溢出。=> 没有溢出
    • A0 和 B0 都是 1（因此 A 和 B 必须都是负数）。这意味着 S0 必须为 1 意味着解决方案是负数 => 没有溢出
• 如果C1 == 0有两种可能：
  • 如果C0 == 0：要么
    • A0 和 B0 都是 0（因此 A 和 B 必须都是正数）。这意味着 S0 必须为 0 意味着解决方案是正的 => 没有溢出
    • A en B 有相反的符号 => 没有溢出
  • if C0 == 1: A0 en B0 必须都是 0（因此 A en B 必须都是正数）这意味着 S0 必须为 1 意味着解是负数，而 A en B 是正数 => 溢出

希望能帮助那里的人。