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我想使用泰勒级数计算平方根。我只是在学习这个系列，我写了一些代码，但我不知道为什么它不起作用，也许我不应该喂它i？请谁能向我解释我做错了什么？

我有来自http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series#List_of_Maclaurin_series_of_some_common_functions的公式

from math import sqrt

def factorial(n):
    result = 1
    for i in range(2, n+1):
        result *= i
    return result

def binomical(alpha, n):
    result = 1
    for i in range(0, n):
        result *= (alpha - i)
    return result / factorial(n)

for i in range(1, 10):
    x = sum(binomical(0.5, k) * i ** k for k in range(10))
    print x, sqrt(i)
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有两个问题，一个小问题，一个大问题。次要的是，扩展是写的(1+x)^alpha，不是x^alpha，所以你i**k真的应该是(i-1)**k。这样做会使您的输出为

1.41920471191 1.0
5.234375 1.41421356237

在那里你可以看到你的答案sqrt(1)是多么可疑sqrt(2)地接近

1.0 1.0
1.41920471191 1.41421356237

这要好得多。不幸的是，剩下的条款仍然不是很好：

5.234375 1.73205080757
155.677841187 2.0
2205.0 2.2360679775
17202.2201691 2.44948974278
91687.28125 2.64575131106
376029.066696 2.82842712475
1273853.0 3.0

并且将总和的项数从 10 增加到 100 会使事情变得更糟：

1.0 1.0
1.4143562059 1.41421356237
1.2085299569e+26 1.73205080757
3.68973817323e+43 2.0
9.21065601505e+55 2.2360679775
3.76991761647e+65 2.44948974278
2.67712017747e+73 2.64575131106
1.16004174256e+80 2.82842712475
6.49543428975e+85 3.0

但这是意料之中的，因为正如您链接的页面所解释的那样，只有当 x 的绝对值小于 1 时才能保证收敛。所以我们可以很好地获得小数的根：

>>> i = 0.7
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(10))
0.8366601005565644
>>> i**0.5
0.8366600265340756

我们可以尝试缩小规模以处理其他数字：

>>> i0 = 123.0
>>> i = i0/(20**2)
>>> sum(binomical(0.5, k) * (i-1) ** k for k in range(50))
0.5545268253462641
>>> _*20
11.090536506925282
>>> i0**0.5
11.090536506409418

或者在不同的点上取泰勒级数，等等。

一般的结论是泰勒级数有一个收敛半径——可能为零！- 他们在其中给出正确的结果。维基百科泰勒系列页面有一个关于“近似和收敛”的部分，其中涵盖了这一点。

（PS“二项式”中没有“c”。:^）

于 2013-01-26T14:48:30.930 回答