我需要找到未定义函数与阈值相交点的良好近似值。我正在步入我的空间，每当我发现两个后续步骤位于阈值的不同侧时，我都会在两者之间添加一个点：
我的第一种方法是只选择中点，但这显然是一个糟糕的解决方案：
我现在使用线性插值，它给出了一个合理的结果，但底层函数实际上永远不会是线性的。因此，只有当我的步长足够小时，这才有效：
对基本函数进行采样可能会非常昂贵，但是我想尝试添加一两个额外的样本以获得更好的近似值。是否可以在这里使用三次插值？像这样：
（来源：宁网）
还是有更好的方法？
非常感谢，大卫·鲁滕
附言。我正在用 C# 编写，但这是一个与语言无关的问题。
神奇的词是“根解算器”；数学根是函数等于零的值。通过添加/减去阈值，您可以使用根查找器。
如果您知道要插入的函数是什么，则可以设置一个非常快速的根查找器。如果您没有帖子建议的线索（“未定义”），最好的方法是“布伦特方法”，“割线法”和“二分法”的组合，或单独的“割线法”。维基百科对此方法有一个条目。
与您的观点相反，使用更复杂的函数不是一个好主意。主要的性能障碍是函数评估，它随着更多的点/获得导数或更复杂的插值函数而增加。
如果您接近最大/最小/拐点，Newton-Raphson 方法非常糟糕，因为接近零的导数会使您远离该点并且它还有一些其他问题。在您知道自己在做什么之前不要使用它。
我的数学非常生疏，但你可能会发现Newton Raphson 方法给了你很好的结果。一般来说，假设迭代开始“足够接近”所需的根，它会很快收敛到一个准确的解决方案上。
您的上一张图片仅显示三个点，仅足以定义二次多项式，而不是三次。对于三次插值，您需要四个点。三次多项式可以用不同的方式拟合；这里有两个。
最直接的方法是简单地让（唯一）多项式通过所有四个点。
另一种方法是使用切线。同样，我们需要四点。让左边的两点定义一个斜率。让多项式通过第二个点（通常，它不通过第一个点），并匹配该点的计算斜率。第四点和第三点的右侧也是如此。
顺便说一句，任何高阶多项式都可能不是一个好主意，因为即使存在一点输入噪声，它们也会变得非常不稳定。
如果您提供有关问题域的更多详细信息，我可能会给出更具体的答案。例如，您的数据点来自哪里，您通常可以期待什么样的曲线，如果需要，您可以返回并进行更多采样吗？如果需要，我也可以提供方程式和伪代码。
更新：愚蠢的我留下了一个句子，提到了两种方法，没有把它们打出来。现在把它们打出来。
