geometry - 如何找到形成由 x 轴限制的圆的切线的两点的坐标（作为自然数）？

Question

_{坐标为 (P x} , P _y ) 和 (Q _x , Q _y ) 的两点 P 和 Q满足以下性质：

1. 坐标 P _x、 P _y、 Q _x和 Q _y是整数。
2. P _x = -Q _x。
3. 直线 PQ 与一个圆心为 (0, 0) 且半径为r的圆相切
4. 0 < P _x ≤ a对于某个整数限制a。

如何找到所有这样的点 P 和 Q 对？

例如，在下图中，我有一个半径r =2 且极限a = 6 的圆。点对 P = (6, 2) 和 Q = (−6, −7) 是一个解，因为：

1. P 和 Q 的坐标是整数。
2. P _x = -Q _x。
3. 线 PQ 与圆相切。
4. 0 < P _x ≤ 6。

但这只是一对。我需要找到所有这样的对。有有限数量的解决方案。

那么，有没有办法检查点的坐标是否与圆相切并且是整数，然后将它们全部列出？我已经查看了斜率方程和从圆心到直线方程的最短路径，但是，在第一种情况下，它需要知道坐标（我可以通过强制每个数字来做到这一点，但我看不到模式，因为我的直觉告诉我应该应用某种方程），在第二种情况下，我必须知道斜率方程。

这是我想出的算法，但我认为它不正确或不够好：

1. 对于所有 1 ≤ P _x ≤ a和 -<em>a ≤ Q _x ≤ -1，求斜率方程y = mx + b 。
2. 对于每个y = mx + b检查它是否与圆相切（如何做到这一点？？？）
3. 如果为真，则返回该对

Answer 1

线 PQ 有方程：

(x-Px)/(Qx-Px)=(y-Py)/(Qy-Py) or

(x-Px)*(Qy-Py)-(y-Py)*(Qx-Px)=0 or

x*(Qy-Py)+y*(Px-Qx)-Px*Qy+Px*Py+Py*Qx-Py*Px = 

x*(Qy-Py)+y*2*Px-Px*(Qy+Py)=0

从零点到这条线的距离（圆半径）是

r=Px*(Qy+Py)/Sqrt((2*Px)^2+(Qy-Py)^2)

请注意，半径和提名者是整数，因此分母也必须是整数。当 2*Px 和 |Qy-Py| 时是可能的 是一些毕达哥拉斯三元组的成员（例如 - 12^2+9^2 =15^2）。因此您可以使用上述链接中的“生成三元组”方法来显着减少搜索并找到所有可能的点对（带半径检查）

  Px = k * m * n   (for m>=n, radius < k*m*n <= a)
  |Qy-Py| = k * (m^2 - n^2)

使用 a=6 最大值 n 为 2，您的示例对应于 (k, m, n) 集 (3, 2, 1)