math - 给定由法线和点定义的平面时找到下坡方向矢量

Question

因此，我有一个由空间 P 中的一个点和一个法线 N 定义的平面。我想找到直接指向平面上“下山”的法线向量。我将如何解决这个问题？

Answer 1

好的，所以不需要该点在空间中的位置。您需要做的是将平面法线矢量与您定义为“向下”的任何矢量相乘。这为您提供了一个垂直于它们的矢量，即穿过具有平坦梯度的斜坡。然后你再次取这个新向量与法线的叉积，它将产生你想要的“下坡”向量：平行于具有最大向下分量的坡度的向量。

所以假设法向量和下向量具有单位长度并且这里的 * 运算符代表叉积：

gradient = (normal * down) * normal;

如果您的“向下”向量只是(0, 0, -1)，并且适用于大多数应用程序，您可以通过分配以下值来简化代码中的计算：

gradient.X = normal.X * normal.Z;
gradient.Y = normal.Y * normal.Z;
gradient.Z = -(normal.X * normal.X) - (normal.Y * normal.Y);

Answer 2

我认为这是负梯度向量。梯度应该是“上坡”的切向量，所以假设它是一个平面，如果你否定它应该是“下坡”的切向量。因此，如果

PLANE : z = ax + by + c where N = <a,b,c>
grad(z) = <d/dx(ax + by + c),d/dy(ax + by + c)> = <a,b>
-grad(z) = <-a,-b>

因此，“下坡”切线应该是 <-a,-b>。

求解下降率留给读者作为练习：D

请注意，位置 P 与确定梯度无关。

编辑：实际上，我认为我必须自相矛盾。我在想，如果你“向下”看一个平面，法向量指向“向上”（就像旗杆直接从滑雪坡上伸出），那么“下坡”切线向量实际上是 N 到XY 平面，因此 t = 。我不太确定为什么渐变的东西没有解决。当然，这意味着，如果 c < 0，则向下向上；）