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在 的多维(张量)情况下y = u⊗v
,我相信您需要像这样移动第二个操作数的维度:
v_t = permute(v, circshift(1:(ndims(u) + ndims(v)), [0, ndims(u)]));
然后将它们乘以bsxfun
:
y = bsxfun(@times, u, v_t);
常规矩阵乘法仅针对向量和二维矩阵定义,因此我们不能在一般情况下使用它。
另请注意,如果第二个操作数是一维向量,则此计算仍然失败,因为向量ndims
返回 2 而不是 1。为此,让我们定义我们自己的计算维度的函数:
my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));
要完成答案,您可以定义一个新函数(例如,匿名函数),如下所示:
outprod = @(u, v)bsxfun(@times, u, permute(v, circshift(1:(my_ndims(u) + my_ndims(v)), [0, my_ndims(u)])));
然后根据需要多次使用它。例如,y = a×a×a
将像这样计算:
y = outprod(outprod(a, a), a);
当然,您可以编写一个更好的函数,该函数采用可变数量的参数来节省您的打字时间。这些方面的东西:
function y = outprod(u, varargin)
my_ndims = @(x)(isvector(x) + ~isvector(x) * ndims(x));
y = u;
for k = 1:numel(varargin)
v = varargin{k};
v_t = permute(v, circshift(1:(my_ndims(y) + my_ndims(v)),[0, my_ndims(y)]));
y = bsxfun(@times, y, v_t);
end
我希望我的数学是正确的!
您也可以使用以下kron
功能:
kron(a * a', a)
或者当需要四个外部(克罗内克张量)产品时:
kron(kron(a * a', a), a)
等等。最后一个给你一个mxn矩阵,其中 m = n * n * n。
如果需要在产品上添加尺寸,您可以使用以下reshape
功能:
reshape(kron(a * a', a), [n, n, n])
或者
reshape(kron(kron(a * a', a), a), [n, n, n, n])
等等。最后一个给你一个nxnxnxn张量。
在之前的解决方案中使用kron
as的问题是它抛弃了外积的规范索引。
相反,ndgrid
非常适合这种情况:
a = [1; 2; 3];
b = [4; 5];
c = [6; 7; 8; 9];
[xx, yy, zz] = ndgrid(1:length(a), 1:length(b), 1:length(c));
% desired outerproduct
M = a(xx) .* b(yy) .* c(zz);
在纸面上,我们可以检查所需的解决方案M
是数据立方体:
M(:,:,1) = | M(:,:,2) = | M(:,:,3) = | M(:,:,4) =
| | |
24 30 | 28 35 | 32 40 | 36 45
48 60 | 56 70 | 64 80 | 72 90
72 90 | 84 105 | 96 120 | 108 135
使用克罗内克乘积法
M2 = reshape(kron(a * b', c), [length(a), length(b), length(c)]);
我们会得到:
M2(:,:,1) = | M2(:,:,2) = | M2(:,:,3) = | M2(:,:,4) =
| | |
24 36 | 64 84 | 30 45 | 80 105
28 48 | 72 96 | 35 60 | 90 120
32 56 | 72 108 | 40 70 | 90 135
DatacubeM2
具有与 相同的元素M
,但这些元素已重新排列。这是因为在连续块kron(a * b', c)
中不包含切片M
以方便直接应用该 reshape
功能。要以这种方式计算外积,我们需要对kron(a * b', c)
.
使用的另一个优点ndgrid
是它很容易泛化到更高阶。