令 (X,Y) 为均值为 0 且协方差矩阵为 S 的二维正态随机变量。进一步令 Q = [0,1]x[0,1] 为单位平方，并均匀地对其进行网格化每边有 N 个网格点。结果，我们得到 Q 是 N x N 个正方形的并集。我需要在 MATLAB 中计算每个这样的正方形的 (X,Y) 的边际，即我需要计算一个矩阵 I ，其中元素是形式的 N x N 积分
其中
是分区的元素。贪心的方法是运行两个循环：在 i 上和在 j 上，并以数值方式计算这些积分中的每一个。但是，如果 S 是对角线，则可以做更有效的技巧：首先计算 X 的分布（这将是一个行向量），然后是 Y 的分布（列向量），最后取它们的 Kronecker 乘积，即将产生正确的矩阵 I。
但是，如果存在相关性，即 S 不是对角矩阵，则这种技巧不起作用。在这种情况下是否有必要运行 2 个循环，或者有更好的方法？
多元正态 CDF 不容易计算。但是，使用您上面提到的内容，双变量情况比单变量情况更容易和更准确。它有 FORTRAN（见下文）和纯 Java 库：http ://www.iro.umontreal.ca/~simardr/ssj/indexe.html
更一般地说，自 1980 年代以来，WSU 教授 (Alan Genz) 一直在研究如何在数值上进行此积分和其他多元积分。其他人实现的所有代码都来源于他的算法和研究。他的代码可以计算维度高达 1000 的多元正态分布和 T 分布的 CDF 和期望。
http://www.math.wsu.edu/faculty/genz/software/software.html
我还编写了代码来从 Java 调用这些子例程：Compute the multivariate normal CDF in Java
不，通常没有简单的方法来计算多元正态分布的 CDF - 请参阅：
http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Cumulative_distribution_function
如果您有 MATLAB Statistics Toolbox，则可以使用 mvncdf：
http://www.mathworks.com/help/stats/mvncdf.html
有可用的 C/C++ 版本，您可能可以 MEX：
或者，如果你想在 MATLAB 中做所有事情，试试积分 2，它有很多优化。