math - 来自前序和后序遍历的 k-ary 树的数量

Question

假设给定前序和后序遍历和 k。这些遍历有多少个 k-ary 树？

k-ary 树是每个顶点最多有 k 个子节点的有根树。

Answer 1

如果您想知道具有前序和后序遍历的可能二叉树的数量，您应该首先绘制一棵可能的树。然后计算只有一个孩子的节点数。可能的树的总数为：2 ^（单子节点数）

例如：前：adbefgchij 后：dgfebijhca

我画了一棵有 3 个单子节点的树。因此，可能的树数为 8。

Answer 2

首先通过DFS确定子树的对应范围，得到子树的数量，然后通过子树的组合求解。

const int maxn = 30;
int C[maxn][maxn];
char pre[maxn],post[maxn];
int n,m;

void prepare()
{
    memset(C,0,sizeof(C));
    for(int i=0;i<maxn;i++)
    {
        C[i][0] = 1;
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++)
    {
        for(int j=1;j<=i;j++)
        {
            C[i][j] = C[i-1][j-1] + C[i-1][j];
        }
    }
    return;
}

int dfs(int rs,int rt,int os,int ot)
{
    if(rs == rt) return 1;
    int son = 0,res = 1;
    int l = rs + 1,r = os;
    while(l <= rt)
    {
        while(r < ot)
        {
            if(pre[l] == post[r])
            {
                son++;
                break;
            }
            r++;
        }
        res *= dfs(l , l + r - os , os , r);
        l += r - os + 1;
        rs = l - 1;
        os = ++r;
    }
    return res * C[m][son];
}

int main()
{
    prepare();
    while(scanf("%d",&m) && m)
    {
        scanf("%s %s",pre,post);
        n = strlen(pre);
        printf("%d\n",dfs(0,n-1,0,n-1));
    }
    return 0;
}

Answer 3

这取决于特定的遍历对。例如

pre-order:  a b c
post-order: b c a

仅描述一种可能的树（尽可能少的树，除非您包含不一致的遍历对）。另一方面：

pre-order:  a b c
post-order: c b a

描述 2^(3-1) = 4 棵树（在遍历有 3 个节点且 k 可以是任何东西的所有场景中最可能的），即 4 条 3 节点线。