c++ - （伪）- 行列式为零的 N 乘 N 矩阵的逆

Question

我想在我的 GraphSlam 中使用 nxn 矩阵的逆矩阵。

我遇到的问题：

.inverse()特征库（3.1.2）不允许零值，返回NaN
LAPACK (3.4.2) 库不允许使用零行列式，但允许零值（使用示例代码来自Computing the inverse of a matrix using lapack in C）
Seldon 库（5.1.2）由于某种原因无法编译

有没有人成功实现了一个允许负值、零值和零行列式的n x n矩阵求逆代码？有什么好的库（C++）推荐吗？

简单的例子：

[ 1 -1  0 0 ]
[ -1 2 -1 0 ]
[ 0 -1  1 0 ]
[ 0  0  0 0 ]

实际示例是 170x170，包含 0、负值、更大的正值。给出的简单示例用于调试代码。

我可以在 matlab（Moore-Penrose 伪逆）中计算它，但由于某种原因，我无法在 C++ 中对此进行编程。

A = [1 -1 0 0; -1 2 -1 0; 0 -1 1 0; 0 0 0 0]
B = pinv(A)
B=
[0.56   -0.12  -0.44  0]
[-0.12  0.22   -0.11  0]
[-0.44  -0.11   0.56  0]
[0  0  0   0]

对于我的应用程序，我可以（暂时）删除带有零的维度。
所以我要删除第 4 列和第 4 行。
我也可以对我的 170x170 矩阵执行此操作，4x4 只是一个示例。

A：

[ 1 -1  0 ]
[ -1 2 -1 ]
[ 0 -1  1 ]

因此，删除第 4 列和第 4 行不会带来零行列式。但是如果我的矩阵如上所述，我仍然可以有一个零行列式。当每行或每列的总和为零时。（我将一直在 GraphSlam 中使用）

如果行列式不为零，则 LAPACK 解决方案（基于 Moore-Penrose 逆）起作用（使用来自Computing the inverse of a matrix using lapack in C 的示例代码）。
但作为行列式为零的“伪逆”失败了。

解决方案：（全部归功于 Frank Reininghaus），使用 SVD（奇异值分解）
http://sourceware.org/ml/gsl-discuss/2008-q2/msg00013.html

适用于：

一个^-1：

[0.56   -0.12  -0.44]
[-0.12  0.22   -0.11]
[-0.44  -0.11   0.56]

score 7 · Accepted Answer

如果您只想解决 Ax=B 形式的问题（或等效地计算 A^-1 * b 形式的乘积），那么我建议您不要计算 A 的逆或伪逆，而是直接求解Ax=b 使用适当的等级揭示求解器。例如，使用特征：

x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
x = A.jacobiSvd(ComputeThinU|ComputeThinV).solve(b);

score 4 · Accepted Answer

您的 Matlab 命令不会在您的情况下计算逆矩阵，因为矩阵的确定值为零。该pinv命令计算Moore-Penrose 伪逆。pinv(A)具有的一些（但不是全部）属性inv(A)。

所以你在 C++ 和 Matlab 中没有做同样的事情！

以前的

正如我的评论。现在作为答案。您必须确保反转可逆矩阵。这意味着

det A != 0

您的示例矩阵的行列式等于零。这不是一个可逆矩阵。我希望你不要尝试这个！

例如，如果存在一整行或整列的零条目，则给定矩阵的行列式为零。

score 2 · Accepted Answer

你确定这是因为零/负值，而不是因为你的矩阵是不可逆的？

如果矩阵的行列式不为零（mathworld 链接），则矩阵只有逆矩阵，并且您在问题中发布的矩阵示例的行列式为零，因此它没有逆矩阵。

这应该可以解释为什么这些库不允许您取给定矩阵的逆矩阵，但我不能说相同的推理是否适用于您的全尺寸 170x170 矩阵。

score 0 · Accepted Answer

如果您的矩阵是一种协方差或权重矩阵，您可以使用“广义 cholesky 反演”而不是 SVD。结果在实际使用中会更容易接受

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