wolfram-mathematica - Mathematica 的积分只是吐出输入......不解决积分

Question

只是寻找一些数学帮助。当我尝试计算这个积分时：

Integrate[Cos[t]/(1 + b^2 t^2 - (2*b*c*t)/a + c^2/a^2)^(3/2), { t, -Infinity, Infinity}, Assumptions -> {a, b, c} \[Element] Reals]

Mathematica 刚刚吐出：

Integrate[Cos[t]/(1 + c^2/a^2 - (2 b c t)/a + b^2 t^2)^(3/2), {t, -\[Infinity], \[Infinity]}, Assumptions -> (a | b | c) \[Element] Reals]

我将如何评估这个积分？

Answer 1

简化。首先，你不需要 3 个独立的参数，只需要两个。那么这个积分等价于（通过变量的变化和参数的重新缩放）

Integrate[Cos[(a - b t)]/(1 + t^2)^(3/2), {t, -Infinity, Infinity}, 
          Assumptions -> {a, b} \[Element] Reals]

有答案：

2 Abs[b] BesselK[1, Abs[b]] Cos[a]

常数 a、b 与原来的不同，但如果您对变量进行简单的重新缩放和更改，就可以通过它们来表达。这是您在参数空间中的漂亮功能：

Plot3D[2 Abs[b] BesselK[1, Abs[b]] Cos[a], {a, -5, 5}, {b, -5, 5}, 
 PlotRange -> All, Mesh -> All, ColorFunction -> "DarkRainbow", 
 MeshStyle -> Opacity[.1], AxesLabel -> {a, b}]