math - 找到与已知直线成 θ 角的直线

Question

我有一条从 ( a , b ) 到 ( x , y ) 的线，我想画一条从 ( x , y ) 开始的线，长度为 ℓ，与原线形成 θ 角。

如何计算这条新线的端点坐标？看图：

Answer 1

好的，所以经过大量涂鸦后，我想出了这个：

虚线表示平行于 x 轴和 y 轴的线。

m = x - a

n = y - b

α = tan ^-1 (n / m)

β = α - θ

p = ℓ cos β

q = ℓ sin β

c = x + p

d = y + q

Answer 2

对于这种事情，使用矢量代数几乎总是更简单，而不是笛卡尔坐标。让我们从标记点开始：

令 R(θ) 为逆时针旋转 θ 弧度的矩阵：

然后计算：

v = B - A（从A到B的向量）

v̂ = v / | v | （ v方向的单位向量）

ŵ = R(−θ) v̂ （ BC方向的单位向量；你的旋转是顺时针的，所以我们这里需要R(−θ)，而不是R(θ)）

w = ℓ ŵ（长度为 ℓ 在BC方向上的向量）

C = B + w

这种方法避免了计算反正切的需要，这需要一些小心（如果天真地完成，当B垂直高于或低于A时会遇到麻烦；但大多数语言都有atan2处理这种情况的函数）。

在任何带有向量库的合理编程语言中，您应该能够将其编写为单行代码，可能像这样：

C = B + (B - A).unit().rotate(-theta) * l