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我正在实现一个碰撞检测算法，将所有对象之间的距离存储在一个八叉树节点中。例如，如果节点中有 4 个对象，则对象 1&2、1&3、1&4、2&3、2&4 和 3&4 之间存在距离。对总数的公式是 t = n * (n-1) / 2，其中 t 是对的总数，n 是节点中的对象数。

我的问题是，如何从列表中的位置转换为一对对象。例如，使用上面的对列表，3 将返回对 2&3。

为了节省内存空间，该列表只是距离的浮点列表，而不是包含距离和指向 2 个对象的指针。

我不确定如何在数学上将单个列表索引转换为一对数字。任何帮助都会很棒。我希望能够将其分解为 2 个函数，第一个返回对中的第一个对象，第二个返回第二个，这两个函数都采用 2 个变量，一个是索引，另一个是总对象节点。如果可能的话，我想创建一个没有任何循环或具有递归函数的函数，因为这将为我的碰撞检测算法实时运行。

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更好的订购

我建议使用colexicographical order，因为在这种情况下您不必提供对象的总数。像这样订购你的配对：

 0:   1:   2:   3:   4:   5:   6:   7:   8:   9:  10:  11:  12:  13:  …
0&1, 0&2, 1&2, 0&3, 1&3, 2&3, 0&4, 1&4, 2&4, 3&4, 0&5, 1&5, 2&5, 3&5, …

您将能够将此列表扩展到无限长，因此您可以知道任何对的索引而无需知道项目的数量。这样做的好处是，当您将新项目添加到数据结构中时，您只需要附加到您的数组，而不是重新定位现有条目。当您标记问题 C++ 时，我已将索引调整为从零开始，因此我假设您将使用从零开始的索引。我在下面的所有答案都假定这种顺序。

您还可以像这样可视化 colex 排序：

 a: 0  1  2  3  4  5 …
b:
1   0
2   1  2     index of
3   3  4  5       a&b
4   6  7  8  9
5  10 11 12 13 14
6  15 16 17 18 19 20
⋮   ⋮                 ⋱

与单个索引配对

让我们首先将一对转换为单个索引。诀窍在于，对于每一对，您查看第二个位置并想象在该位置具有较少数字的所有对。因此，例如对于2&4您首先计算第二个数字小于 4 的所有对的配对。这是从一组 4 中选择两个项目的可能方法的数量（即数字 0 到 3），因此您可以表达这作为二项式系数 4C2。如果你评估它，你最终会得到 4(4−1)/2=6。为此，您添加第一个数字，因为这是具有较低索引但第二位具有相同数字的对数。因为2&4这是 2，所以 的总指数2&4是 4(4−1)/2+2=8。

通常，对于 a & b对，索引将为b ( b -1)/2+ a。

int index_from_pair(int a, int b) {
  return b*(b - 1)/2 + a;
}

单个索引配对

将单个索引i变回一对数字的一种方法是增加b直到b ( b +1)/2 > i ，即b的下一个值将导致索引大于i的情况。然后你可以找到a作为差a = i -<i>b( b -1)/2。这种通过一次增加一个b的方法涉及使用循环。

pair<int, int> pair_from_index(int i) {
  int a, b;
  for (b = 0; b*(b + 1)/2 <= i; ++b)
    /* empty loop body */;
  a = i - b*(b - 1)/2;
  return make_pair(a, b);
}

您还可以将b ( b -1)/2 = i解释为二次方程，您可以使用平方根来求解。您需要的真正b是作为该二次方程的正解得到的浮点b的底。由于这种方法中的舍入错误可能会导致您遇到问题，因此您可能需要检查是否b ( b +1)/2 > i。如果不是这种情况，请像在循环方法中那样增加b 。一旦有了b ， a的计算就保持不变。

pair<int, int> pair_from_index(int i) {
  int b = (int)floor((sqrt(8*i + 1) + 1)*0.5);
  if (b*(b + 1)/2 <= i) ++b; // handle possible rounding error
  int a = i - b*(b - 1)/2;
  return make_pair(a, b);
}

顺序访问

请注意，您只需将索引转回成对即可随机访问您的列表。当迭代所有对时，一组嵌套循环更容易。所以而不是

for (int = 0; i < n*(n - 1)/2; ++i) {
  pair<int, int> ab = pair_from_index(i);
  int a = ab.first, b = ab.second;
  // do stuff
}

你最好写

for (int i = 0, b = 1; b != n; ++b) {
  for (int a = 0; a != b; ++a) {
    // do stuff
    ++i;
  }
}
于 2012-11-28T08:20:38.257 回答
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根据我对问题的理解，从索引（基于 0，在您的示例中为 3）和对象数量 n（在您的示例中为 4）获取一对 a&b（在您的示例中为 2&3）的一种方法是：

t = n * (n - 1) / 2;
a = n - floor((1 + sqrt(1 + 8 * (t - index - 1))) / 2);
b = index + (n - a) * (n - a + 1) / 2 - t + a + 1;

http://oeis.org/A002024的一些学分

通用算法（用于元组而不是对）可以在基于位置和http://saliu.com/bbs/messages/348.html的计算组合中找到，但它们似乎涉及循环计算组合。

编辑：一个更好的公式（来自同一来源）：

a = n - floor(0.5 + sqrt(2 * (t - index)));
于 2012-11-28T08:43:23.533 回答