matrix - 未知矩阵乘法

Question

如何找到 X、Y、X' 和 Y'，其中这些是未知的2x2 矩阵，而 A、B、C、I、J、K 和 L 是已知的2x2 矩阵。

方程是：

A . X . Y . B = I
A . X . Y' . B = J
A . X . Y . C . X' . Y' . B = K
A . X' . Y' . B = L

通过在 A 和 B 之间保留 2 个未知数，可以生成方程以简化问题。

看起来很现实，因为问题包含 4 个方程和 4 个未知数。

请问有人可以帮忙吗？谢谢

Answer 1

我不认为这是可能的。从第一个方程，您可以计算X.Y. 从最后，您可以计算X'.Y'. 第三个没有提供任何新信息。

Answer 2

我的方法使用第一个和第四个等式：（假设矩阵 A、B、Y 可以反转）

   A . X . Y . B = I                  (1)
   A . X . Y' . B = J                 (2)
   A . X . Y . C . X' . Y' . B = K    (3)
   A . X' . Y' . B = L                (4)

(1)=>  X . Y = Inv(A) . I . Inv(B) = M    (5)   (introducing abbreviation M)
(4)=>  X'. Y'= Inv(A) . L . Inv(B) = N'   (6)   (introducing abbreviation N')
(6)=>  Y . X = N                          (7)
(5)=>  X = M . Inv(Y)                     (8)   Inv(Y) is the inverse matrix of Y
(7)=>  X = Inv(Y) . N                     (9)
(9)=>  M . Inv(Y) = Inv(Y) . N            (10)
(10)=> Y . M = N . Y                      (11)
(11)=> (y11*m11+y12*m21) = (n11*y11+n12*y21)  (12)  matrix components have to be equal
(11)=> (y11*m21+y12*m22) = (n11*y21+n12*y22)  (13)
(11)=> (y21*m11+y22*m21) = (n21*y11+n22*y21)  (14)
(11)=> (y21*m12*y22*m22) = (n21*y12+n22*y22)  (15)
(12)=> y11*(m11-n11) +y12*m21 -y21*n12                      = 0   (16)
(13)=> y11*m21       +y12*m22 -y21*n11       -y22*n12       = 0   (17)
(14)=> y11*(-n21)             +y21*(m11-n22) +y22*m21       = 0   (18)
(15)=>               +y12*n21 +y21*m12       +y22*(m22-n22) = 0   (19)

方程(16)-(19)的解可以通过高斯消元法求得。从 Y，通过 (8) 计算 X

得到的解——如果线性方程组 (16)-(19) 有解——不是唯一的。X 和 Y 可以通过与比例因子相乘来修改。